User:SD2514

Трансцендентална функција

Дефиниција

Формално аналитичка функција $f(z)$ једне стварне или комплексне променљиве је трансцендентална ако је алгебарски независна од те променљиве.То се може проширити на функције неколико променљивих.

Историја

Трансценденталне функције синус и косинус табелиране су из физичких мерења у антици, што је доказано у Грчкој (Hipparchus) и Индији (Jya и Koti-jya). Револуционарно схватање ових кружних функција догодило се у 17. веку, а Леонхард Еулер га је 1748. године изнео у свом Уводу у анализу бесконачног. Ове древне трансценденталне функције постале су познате као континуиране функције кроз квадратуру правоугаоне хиперболе xy = 1 од стране Грегоире де Саинт-Винцент-а у 1647 години, две хиљаде година након што је Архимед продуцирао Квадратуру Параболе.

Показано је да површина испод хиперболе има својство скалирања константног простора за константан однос граница. Функција природног логаритма, која је тако описана, била је ограничена до 1748. године, када је Леонхард Еулер то повезао са функцијама где је константа подигнута на променљиви експонент, као што је експоненцијална функција где је константа основа e. Увођењем ових трансценденталних функција и увидом у својство бијекције које имплицира инверзну функцију, обезбеђен је неки објекат за алгебарске манипулације природног логаритма чак и ако није алгебарска функција.

Експоненцијална функција је написана $\exp(x)=e^{x}$.Еулер га је идентификовао бесконачним серијама ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{k}/k!,}$где к! означава факториал к.

Чак и чудни изрази ове серије пружају суму означавајући $\cosh x$ и $\sinh x$,тако да ${\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x.}$Ове трансценденталне хиперболичне функције могу се претворити у кружне функције синус и косинус увођењем (-1) к у серију, што резултира променљивом серијом. Након Еулера, математичари посматрају синус и косинус на тај начин како би повезали трансценденцију са логаритамским и експонентним функцијама, често путем Еулерове формуле у комплексном аритметичком броју.

Примери

Следеће функције су трансценденталне:

• $f_{1}(x)=x^{\pi }$
• ${\displaystyle f_{2}(x)=c^{x}}$
• $f_{3}(x)=x^{x}$
• $f_{4}(x)=x^{\frac {1}{x}}\$
• ${\displaystyle f_{5}(x)=\log _{c}x}$
• $f_{6}(x)=\sin {x}$

Конкретно,за $f_{2}$  ако поставимо c једнако е,базу природног логаритма,онда добијамо да је $e^{x}$трансцендентална функција.Слично томе, ако поставимо c једнако е у $f_{5}$ онда добијемо то da je ${\displaystyle f_{5}(x)=\log _{e}x=\ln x}$(то јест, природни логаритам) трансцендентална функција.

Алгебарске и трансценденталне функције

Најпознатије трансценденталне функције су логаритам, експоненцијални (са било којом не-тривијалном базом), тригонометријска и хиперболична функција, као и инверзије свих ових. Мање познате су посебне функције анализе, као што су гама, елиптична и зета функције, од којих су све трансценденталне. Генерализоване хипергеометријске и Бесселове функције су генерално трансценденталне, али алгебарске за одређене вредности параметара.

Функција која није трансцендентална је алгебарска. Једноставни примери алгебарских функција су рационалне функције и функција квадратног корена, али генерално, алгебарске функције се не могу дефинирати као коначне формуле елементарних функција.

Недефинисан интеграл многих алгебарских функција је трансценденталан. На пример, логаритамска функција је настала из реципрочне функције у покушају да се пронађе област хиперболичног сектора.

Диференцијална алгебра испитује како интеграција често ствара функције које су алгебраички независне од неке класе, као што је када се за полимоне користе тригонометријске функције као променљиве.

Трансцендентно трансценденталне функције

Већина познатих трансценденталних функција, укључујући посебне функције математичке физике, су рјешења алгебарских диференцијалних једначина. Они који нису, као што су гама и зета функције, називају се трансцендентно трансценденталне или хипертрансценденталне функције.