User:Lilyuserin/SVG/Approximation von Kreisbögen mit Bezierkurven

Approximation von Kreisbögen

${\text{Gegeben sei ein Kreisbogen mit dem Winkel }}\alpha ,0\leq \alpha \leq {\frac {\pi }{2}}$

${\text{Die Bezierkurve wird durch vier Punkte definiert:}}$

${\begin{aligned}P_{0}(1/0)\\P_{1}(1/s)\\P_{2}(v/w)\\P_{3}(\cos \alpha /\sin \alpha )\end{aligned}}$

Beziergleichung in Parameterform

${\text{Daraus ergibt sich folgende Gleichung für die Bezierkurve:}}$

${\begin{aligned}I)\quad &x(u)&=&\quad (1-u)^{3}+3u(1-u)^{2}+3u^{2}(1-u)v+u^{3}\cos \alpha &\quad 0\leq u\leq 1\\II)\quad &y(u)&=&\quad 3u(1-u)^{2}s+3u^{2}(1-u)w+u^{3}\sin \alpha &\quad 0\leq u\leq 1\end{aligned}}$

Tangentenbedingung

${\text{.}}$

${\text{Die Verbindungslinie }}{\overline {P_{2}P_{3}}}{\text{ steht normal auf }}P_{3}$

${\overrightarrow {P_{2}P_{3}}}\perp P_{3}$

${\begin{aligned}III)\quad &v\cos \alpha +w\sin \alpha &=&\quad 1\\IV)\quad &v^{2}+w^{2}&=&\quad s^{2}+1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}V)\quad &x(1/2)&=&\quad \cos {\frac {\alpha }{2}}\\VI)\quad &y(1/2)&=&\quad \sin {\frac {\alpha }{2}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}8x(1/2)&=\quad 3v+\cos \alpha +4\\&=\quad 8\cos {\frac {\alpha }{2}}\\8y(1/2)&=\quad 3s+3w+\sin \alpha \\&=\quad 8\sin {\frac {\alpha }{2}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}(3v+\cos \alpha +4)^{2}\quad +\quad (3s+3w+\sin \alpha )^{2}\quad =\quad 64\end{aligned}}$

${\begin{aligned}9v^{2}+16+\cos ^{2}\alpha \quad &+\\6v\cos \alpha +24v+8\cos \alpha \quad &+\\9s^{2}+9w^{2}+\sin ^{2}\alpha \quad &+\\6s+18sw+6w\sin \alpha \quad &=\quad 128\end{aligned}}$

${\begin{aligned}9s^{2}+12v+9sw+3s\sin \alpha \quad =\quad 16-4\cos \alpha \end{aligned}}$