File:Sphere eversion topological events T+ and T-.webm
Original file (WebM audio/video file, VP9, length 17 s, 1,080 × 1,080 pixels, 500 kbps overall, file size: 1.03 MB)
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Summary[edit]
| Description |
English: In a sphere eversion, certain topological events occur. These topological events describe changes in the topology of the self-intersection curves of the sphere during the eversion. The topological event T+ describes the appearance of a pair of triple points between three different self-intersection curves of the deformed sphere. If three different parts of the deformed sphere intersect each other in pairs and the three parts of the sphere are sufficiently far from each other, there will be three disjoint self-intersection curves. Moving the three parts of the sphere closer to each other will first cause a single triple point to appear if two of the self-intersection curves are tangent to the third self-intersection curve. Moving the three parts past the tangency point will cause the single triple point to split into two triple points, i.e., two points where the three parts of the sphere intersect transversally. Analogously, the topological event T- describes the disappearance of a pair of triple points between three different self-intersection curves of the deformed sphere if the three parts of the sphere are pulled apart. The topological events T+ and T- can be regarded as reflections of each other with respect to time, i.e., T- can be regarded as T+ viewed backwards and vice versa.
In the video, the three different parts of the deformed sphere are visualized by topological disks that have the shape of a parabolic cylinder and two planes, respectively. In the first part, the video shows the topological event T+: The parabolic cylinder and the two planes move towards each other until the parabolic cylinder touches the intersection of the two planes in a single triple point. By continuing the relative movements, the two triple points are created. In the second part, the video shows the topological event T-: The parabolic cylinder moves away from the planes until the the two triple points are reduced to a single triple point, which then disappears. The entire sequence is repeated a second time in the video. The three different parts of the sphere are displayed as transparent surfaces in magenta, cyan (planes), and orange (parabolic cylinder). To emphasize the self-intersection curves, they are displayed as white tubes. To emphasize the triple points, they are displayed as white spheres. The terminology T+ and T- for these topological events is described in the following articles:
Deutsch: Bei der Umstülpung der Sphäre treten bestimmte topologische Ereignisse auf. Diese topologischen Ereignisse beschreiben Veränderungen der Topologie der Selbstdurchdringungskurven der Sphäre während der Umstülpung. Das topologische Ereignis T+ beschreibt die Entstehung eines Paars von Dreifachpunkten zwischen drei verschiedenen Selbstdurchdringungskurven der deformierten Sphäre. Wenn sich drei verschiedene Teile der deformierten Sphäre gegenseitig in Paaren durchdringen und die drei Teile der Sphäre hinreichend weit voneinander entfernt sind, ergeben sich drei disjunkte Selbstdurchdringungskurven. Wenn die drei Teile der Sphäre aufeinander zu bewegt werden, entsteht zunächst ein einzelner Dreifachpunkt, wenn zwei der Selbstdurchdringungskurven die dritte Selbstdurchdringungskurve tangential berühren. Wenn die drei Teile über den Tangentialpunkt hinaus bewegt werden, spaltet sich der Dreifachpunkt in zwei Dreifachpunkte auf. Die zwei Dreifachpunkte sind Punkte, an denen sich die drei Teile der Sphäre transversal durchdringen. Analog dazu beschreibt das topologische Ereignis T- das Verschwinden eines Paars von Dreifachpunkten zwischen drei verschiedenen Selbstdurchdringungskurven der deformierten Sphäre, wenn die drei Teile der Sphäre auseinander gezogen werden. Die topologischen Ereignisse T+ und T- können als Spiegelungen von einander in Bezug auf die Zeit betrachtet werden, d. h. T- kann angesehen werden als T+ rückwärts betrachtet und umgekehrt.
Im Video werden die drei Teile der deformierten Sphäre als topologische Kreisscheiben in der Form von einem paraboloischen Zylinder bzw. zwei Ebenen visualisiert. Im ersten Teil zeigt das Video das topologische Ereignis T+: der parabolische Zylinder und die zwei Ebenen bewegen sich aufeinander zu, bis der parabolische Zylinder die Selbstdurchdringungskurve der zwei Ebenen in einem einzelnen Dreifachpunkt berührt. Durch die Fortsetzung der relativen Bewegung werden die zwei Dreifachpunkte erzeugt. Im zweiten Teil zeigt das Video das topologische Ereignis T-: der parabolische Zylinder entfernt sich von den beiden Ebenen, bis die zwei Dreifachpunkte in einem Dreifachpunkt zusammenfallen, der dann verschwindet. Die drei verschiedenen Teile der Sphäre werden als transparente Oberflächen in Magenta, Cyan (Ebenen) und Orange (parabolischer Zylinder) dargestellt. Um die Selbstdurchdringungskurven hervorzuheben, werden sie als weiße Röhren dargestellt. Um die Dreifachpunkte hervorzuheben, werden sie als weiße Kugeln dargestellt. Die Terminologie T+ und T- für diese topologischen Ereignisse wird in den folgenden Artikeln beschrieben:
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| Source | Own work |
| Author | Carsten Steger |
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