File:Sphere eversion topological events D0 and D2.webm
Original file (WebM audio/video file, VP9, length 17 s, 1,080 × 1,080 pixels, 570 kbps overall, file size: 1.17 MB)
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Summary[edit]
| Description |
English: In a sphere eversion, certain topological events occur. These topological events describe changes in the topology of the self-intersection curves of the sphere during the eversion. The topological event D0 describes the appearance of a self-intersection curve between two different parts of the deformed sphere. If the two parts of the sphere are moved closer and closer to each other, they first touch in a single point. Moving the two parts further creates a closed self-intersection curve between them. Analogously, the topological event D2 describes the disappearance of a self-intersection curve between two different parts of the deformed sphere. The two intersecting parts are pulled apart until the self-intersection curve shrinks to a point. If the two parts are pulled apart further, the self-intersection curve disappears. The topological events D0 and D2 can be regarded as reflections of each other with respect to time, i.e., D2 can be regarded as D0 viewed backwards and vice versa.
In the video, the two different parts of the deformed sphere are visualized by topological disks that have the shape of a circular paraboloid. In the first part, the video shows the topological event D0: The two paraboloids move towards each other until they touch in a single point, after which a closed self-intersection curve is created. In the second part, the video shows the topological event D2: the two paraboloids move away from each other until the closed self-intersection curve is reduced to a single point and then disappears. The entire sequence is repeated a second time in the video. The two different parts of the sphere are displayed as transparent surfaces in magenta and cyan. To emphasize the self-intersection curve, it is displayed as a white tube (or a sphere for the point at which the paraboloids touch tangentially). The terminology D0 and D2 for these topological events is described in the following articles:
Deutsch: Bei der Umstülpung der Sphäre treten bestimmte topologische Ereignisse auf. Diese topologischen Ereignisse beschreiben Veränderungen der Topologie der Selbstdurchdringungskurven der Sphäre während der Umstülpung. Das topologische Ereignis D0 beschreibt die Entstehung einer Selbstdurchdringungskurve zwischen zwei verschiedenen Teilen der deformierten Sphäre. Wenn die zwei Teile der Sphäre aufeinander zu bewegt werden, berühren sie sich zunächst in einem einzelnen Punkt. Wenn sie weiterbewegt werden, entsteht zwischen ihnen eine geschlossene Selbstdurchdringungskurve. Analog dazu beschreibt das topologische Ereignis D2 das Verschwinden einer Selbstdurchdringungskurve zwischen zwei verschiedenen Teilen der deformierten Sphäre. Die zwei sich durchdringenden Teile werden auseinandergezogen, bis die Selbstdurchdringungskurve auf einen Punkt zusammenschrumpft. Wenn die zwei Teile weiter auseinandergezogen werden, verschwindet die Selbstdurchdringungskurve. Die topologischen Ereignisse D0 und D2 können als Spiegelungen von einander in Bezug auf die Zeit betrachtet werden, d. h. D2 kann angesehen werden als D0 rückwärts betrachtet und umgekehrt.
Im Video werden die beiden Teile der deformierten Sphäre als topologische Kreisscheiben in der Form von elliptischen Paraboloiden visualisiert. Im ersten Teil zeigt das Video das topologische Ereignis D0: die zwei Paraboloide bewegen sich aufeinander zu, bis sie sich in einem Punkt berühren. Daraufhin entsteht eine geschlossene Selbstdurchdringungskurve. Im zweiten Teil zeigt das Video das topologische Ereignis D2: die zwei Paraboloide entfernen sich voneinander, bis die geschlossene Selbstdurchdringungskurve auf einen Punkt zusammengezogen worden ist und danach verschwindet. Die gesamte Sequenz wird im Video ein zweites Mal wiederholt. Die zwei verschiedenen Teile der Sphäre werden als transparente Oberflächen in Magenta und Cyan dargestellt. Um die Selbstdurchdringungskurve hervorzuheben, wird sie als eine weiße Röhre dargestellt (oder als weiße Kugel am Punkt, an dem sich die Paraboloide tangential berühren). Die Terminologie D0 und D2 für diese topologischen Ereignisse wird in den folgenden Artikeln beschrieben:
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| Date | |
| Source | Own work |
| Author | Carsten Steger |
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