User:Lilyuserin/SVG/90-60-30 Dreieck

Halbiert man das gleichseitige Dreieck entlang einer Symmetrieachse, erhält man ein rechtwinkeliges Dreieck, genannt 30-60-90 Dreieck dessen kleinere Winkel 30^o und 60^o betragen.

Die Hypothenuse ist doppelt so lang wie die kürzere Kathete, die Länge der längeren Kathete ergibt sich aus dem Pytagoräischen Lehrsatz.

Links

• Special right triangles
• Mathematische Basteleien
• Wolfram Mathworld

Längen im Dreieck

${\text{Hypothenuse c}}$

${\text{lange Kathete }}b=c*\sin {\frac {\pi }{3}}=c*\sin 60^{\circ }={\frac {c}{2}}{\sqrt {3}}$

${\text{kurze Kathete }}a=c*\sin {\frac {\pi }{6}}=c*\sin 30^{\circ }={\frac {c}{2}}$

${\text{Seitenverhältnisse }}a:b:c=1:{\sqrt {3}}:2$

${\text{Höhe }}h={\frac {1}{4}}{\sqrt {3}}c={\frac {b}{2}}$

${\text{Hypothenusenabschnitt }}p={\frac {3}{4}}c$

${\text{Hypothenusenabschnitt }}q={\frac {1}{4}}c$

${\text{Inkreisradius }}r={\frac {1}{4}}({\sqrt {3}}-1)c$

${\text{Umkreisradius }}R={\frac {c}{2}}$

$\alpha ={\frac {\pi }{6}}=30^{\circ }$

$\beta ={\frac {\pi }{3}}=60^{\circ }$

$\gamma ={\frac {\pi }{2}}=90^{\circ }$

$\sin {\frac {\pi }{3}}=\sin 60^{\circ }=\cos {\frac {\pi }{6}}=\cos 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}$

$\cos {\frac {\pi }{3}}=\cos 60^{\circ }=\sin {\frac {\pi }{6}}=\sin 30^{\circ }={\frac {1}{2}}$

Punkte

Der Eckpunkt C mit dem rechten Winkel liegt im Ursprung, die lange Kathete auf der X-Achse.

$A=(b,0)=(c{\frac {\sqrt {3}}{2}},0),B=(0,{\frac {c}{2}}),C=(0,0)$

${\text{Höhenschnittpunkt }}H=C$

${\text{Höhenfußpunkt }}F=({\frac {3c}{8}},c{\frac {\sqrt {3}}{8}})$

${\text{Neunpunktekreis }}N=({\frac {c}{8}},{\frac {b}{4}})=({\frac {c}{8}},c{\frac {\sqrt {3}}{8}})$

${\text{Umkreismittelpunkt }}U={\frac {A+B}{2}}=({\frac {b}{2}},{\frac {c}{4}})=(c{\frac {\sqrt {3}}{4}},{\frac {c}{4}})$

${\text{Inkreismittelpunkt }}I=(r,r)=({\frac {c}{4}}({\sqrt {3}}-1),{\frac {c}{4}}({\sqrt {3}}-1))$

Fußpunkte der Inkreisradien

$I_{a}=(0,r)=(0,{\frac {c}{4}}({\sqrt {3}}-1))$

$I_{b}=(r,0)=({\frac {c}{4}}({\sqrt {3}}-1),0)$

$I_{c}=({\frac {3r}{2}},r({\frac {\sqrt {3}}{2}}+1))=({\frac {3c}{8}}({\sqrt {3}}-1),{\frac {c}{8}}({\sqrt {3}}+1))$

${\text{Schwerpunkt }}S={\frac {A+B+C}{3}}=({\frac {b}{3}},{\frac {c}{3}})=(c{\frac {\sqrt {3}}{6}},{\frac {c}{6}})$

Seitenhalbierende

$A'={\frac {B+C}{2}}=({\frac {c}{4}},0)$

$B'={\frac {A+C}{2}}=({\frac {b}{2}},0)=(0,c{\frac {\sqrt {3}}{4}})$

$C'={\frac {A+B}{2}}=U=({\frac {b}{2}},{\frac {c}{4}})=(c{\frac {\sqrt {3}}{4}},{\frac {c}{4}})$

Näherungen mit ganzzahligen Seitenzahlen

Entwickelt man ${\text{Wurzel 3 }}={\sqrt {3}}\approx 1.7320508075688772935274463415059$ als Kettenbruch, so erhält man als rationale Näherung ${\frac {1351}{780}}\approx 1.73205128205128$. Das legt nahe, als Seitenlänge $780*2=1560$ zu wählen, woraus sich näherungsweise ergibt:

${\text{Seitenlänge }}c=1560,b\approx 1351,a=780$

${\text{Höhe }}h={\frac {b}{2}}\approx 675.5$

${\text{Umkreisradius }}R={\frac {c}{2}}=780$

${\text{Inkreisradius }}r={\frac {1}{4}}({\sqrt {3}}-1)c\approx 285.5$

${\text{Höhenfußpunkt }}F=(337.75,585)$

${\text{Fußpunkte Inkreisradien }}I_{a}=(0,285.5),I_{b}=(285.5,0),I_{c}=(428.25,532.75)$

$A=(1351,0),B=(0,780),C=(0,0)$

$A'=(0,390),B'=(675.5,0),C'=(675.5,390)$

$A''=B,B''=A,C''=(b,a)=(1351,780)$

$S=(450.33,520),I=(285.5,285.5),U=(675.5,390),N=(337.75,195)$

Noch schönere Zahlen erhält man, wenn man alle Werte mit $6$ multipliziert, was den Nachteil größerer Zahlenwerte mit sich bringt.

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