File:Teorema De Leonardo.jpg

Existen cinco, y solo cinco, Poliedros Regulares Estrellados. Los cinco poliedros regulares cóncavos estrellados están representados por el Conjunto W: W= {4(6, 3) + 4(3, 3), 8(6, 3) + 6 (4, 3), 20(6, 3) + 12(5, 3), 6(8, 3) + 8(3, 3), 12(10, 3) + 20(3, 3)} Tesis: Demostrar que el conjunto W está compuesto por los únicos poliedros regulares cóncavos estrellados que existen. Demostración: A) A =2mn / 2m=2mn+2n – mn. B) 3 = b, 3 = n: Como los poliedros regulares cóncavos estrellados están todos compuestos por caras poliédricas que son triángulos equiláteros entonces siempre b = n =3, por ley transitiva de la igualdad b = 3. C) J (2a, b) + T (m, n): es designado con el nombre de BISPAR POLIÉDRICO. D) E= 2A: Por cada arista intermedia que forman un poliedro regular estrellado existen dos aristas estrelladas. E) J = E

F)           J = 2A / a.

G) F = E.

H)         F=2A. Los poliedros estrellados tienen sus leyes diferentes a los poliedros convexos, por lo tanto se cumple J (2a, b); F + T – E = T, donde T ≥ 4: Como el tetraedro estrellado Davinciano es el poliedro regular estrellado que posee la menor cantidad de vértices exteriores y tiene 4 vértices exteriores. Entonces la nueva  ley que siempre se cumple en los poliedros regulares estrellados es: F + T – E = ≥ 4.

I) T = 2A / m: Se cumple en (m, n), T = E/m: Se cumple en (m, n), J) E = 4ab /2a + 2b - ab K) Primera ley de la estelación de un poliedro regular: Cuando se realiza una estelación de un poliedro regular convexo el conjunto de caras intermedias desaparece debido a que quedan sepultadas debajo del conjunto de las caras exteriores del poliedro nuevo que se ha formado. L) Segunda ley de la estelación de un poliedro regular: Cuando se realiza una estelación de un poliedro regular convexo el poliedro nuevo que se ha formado es una estelación del poliedro anterior. Símbolos de las variables: A= aristas intermedia o planas; V= vértices intermedio; C= caras intermedias o planas; E= aristas exteriores o estrelladas; F = caras exteriores o estrelladas; T= vértices exteriores o estrellados; n = número de lados del polígono regular; m = número de aristas que tiene un vértice; s= variable que indica la suma de los ángulos que poseen los polígonos regulares comunes a un vértice; J= es el doble de las aristas que convergen en el vértice cóncavo intermedio; La variable J= 2m y m ≥ 3; R= representa el grado de regularidad o irregularidad del poliedro seleccionado; Cuando el poliedro es irregular el grado se marca con una I, cuando el poliedro es regular el grado de regularidad no se marca. Primera etapa siendo las variables: a ≥3. b = 3, m = 3, n = 3. En la primera etapa de la demostración, esgrimiendo demostraciones basadas en la reducción al absurdo, asignaremos los valores de las variables: a ≥3. b = 3, m = 3, n = 3. Sustituyendo en el primer miembro del bispar poliédrico J (2a, b), e instauramos las fórmulas que están en los literales (J) E = 4ab /2a + 2b – ab. (D) E=2A, (E) J = E /a, (F) F = E, Para el segundo miembro del bispar poliédrico T(m, n) utilizaremos las fórmulas que están en los literales (H) T =E/m, (I) A=E /2.Con estos datos y las leyes que están en los literales (K) y (L) determinaremos los poliedros regulares cóncavos estrellados que correspondan a las características encontradas en la primera etapa. 1) Siendo a =3. b = 3, m = 3, n = 3, aplicando fórmulas y resolviendo aristas exteriores: E = 4ab /2a + 2b – ab = 4 (3) (3) / 2 (3) + 2 (3) -3 (3) = 36/3 = 12 entonces E= 12 aristas exteriores. Resolviendo: F = E, E=12, F=12 caras exteriores; solucionando: T = E / m = 12 / 3 = 4, T = 4 vértices exteriores; trabajando: J = E /a, J= 12/3, J=4 vértices cóncavo intermedios; satisfaciendo: A=E /2 =12/2=6, A=6 aristas intermedias: Sustituyendo J = 4, a =3. b = 3, en el primer miembro del bispar poliédrico J (2a, b), =4 (2(3), 3) = 4(6, 3), Sustituyendo T = 4, m=3, n=3, en el segundo miembro del bispar poliédrico T(m, n) = 4(3, 3). Concluimos que todas estas características indican que el poliedro es el Tetraedro estrellado Davinciano, por lo tanto concluimos que el primer poliedro regular cóncavo estrellado es el Tetraedro Estrellado Davinciano cuyo bispar poliédrico es: 4 (6, 3) + 4(3, 3). https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tetraedro_Estrellado_Davinciano.gif 2) Siendo a =4. b = 3, m = 3, n = 3, aplicando fórmulas y resolviendo: E = 4ab /2a + 2b – ab = 4 (4) (3) / 2 (4) + 2 (3) -4 (3) = 48/2 = 24 entonces E= 24 aristas exteriores. Satisfaciendo: F = E, E=24, F=24 caras exteriores; solucionando: T = E / m = 24 / 3 = 8, T = 8 vértices exteriores; resolviendo: J = E /a. J = 24/4 = 6, J = 6 vértices cóncavo intermedios; resolver: A=E /2 =24/2=12, A=12 aristas intermedias: Sustituyendo J = 6, a =4. b = 3, en el primer miembro del bispar poliédrico J (2a, b) = 6 (2(4), 3) = 6(8, 3), Sustituyendo T = 8, m=3, n=3, en el segundo miembro del bispar poliédrico T(m, n) = 8(3, 3).. Concluimos que el poliedro es la estrella octángula de Kepler, cuyo bispar poliédrico es 6 (8, 3) + 8 (3, 3). https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Estrella_Octangular_de_Kepler.gif 3) Siendo a = 5. b = 3, m = 3, n = 3, aplicando fórmulas y resolviendo: E = 4ab /2a + 2b – ab = 4 (5) (3) / 2 (5) + 2 (3) -5 (3) = 60/1 = 60 entonces E= 60 aristas exteriores. Resolver: F = E, E=60, F=60 caras exteriores; solucionando: T = E / m = 60 / 3 = 20, T = 20 vértices exteriores; solucionando: J = E /a, J= 60 / 5 =12, J=12 vertices cóncavos intermedios; satisfaciendo: A = E /2 = 60 / 2 = 30, A=30 aristas intermedias: Sustituyendo J = 12, a = 5. b = 3, en el primer miembro del bispar poliédrico J (2a, b), =12 (2(5), 3) = 12(10, 3), Sustituyendo T = 20, m=3, n=3, en el segundo miembro del bispar poliédrico T (m, n) = 20(3, 3). Concluimos que el tercer poliedro regular cóncavo estrellado es el icosaedro Estrellado Davinciano cuyo bispar poliédrico es: 12(10, 3) + 20 (3, 3) https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Icosaedro_Estrellado_Davincizno.gif 4) Siendo a =6. b = 3, m = 3, n = 3, aplicando fórmulas y resolviendo la ecuación para determinar la cantidad de aristas exteriores: E = 4ab /2a + 2b – ab = 4 (6) (3) / 2 (6) + 2 (3) -6 (3) = 72/0 = indefinido. entonces E = indefinido, no satisface la ecuación. Hemos concluido la primera etapa de la demostración siendo a ≥3. Segunda etapa siendo el literal m ≥ 3, n = 3, a = 3. b = 3: En la segunda etapa, usando demostraciones basada en la reducción al absurdo, asignaremos el valor a = 3. b = 3, m ≥ 3, n = 3. Sustituyendo en el miembro del bispar poliédrico T(m, n), al cual le corresponden las fórmulas que están en los literales (A) A =2mn / 2m=2mn+2n – mn, (G) T = 2A /m, y luego trabajamos con el primer miembro del bispar poliédrico J (2a, b), utilizando los literales (D) E=2A, (E) J = 2A / a , (F) F = 2A. Con estos datos y las leyes que están en los literales (K) y (L) determinaremos los poliedros regulares cóncavos estrellados que correspondan a las características encontradas en la segunda etapa. 5) Siendo m = 4, n = 3, a = 3. b = 3 aplicando fórmulas y resolviendo la ecuación: A =2mn / 2m=2mn+2n – mn = 2 (4) (3) / 2 (4) + 2 (3) -4 (3) = 24/2 = 12 entonces A=12 aristas intermedias. Resolviendo: E =2A, E=2(12)=24, E=24 aristas exteriores; resolviendo: F = 2A, F=2(12)=24, F=24 caras exteriores; solucionando: T = 2A / m = 2(12) / 4 = 6, T = 6 vértices exteriores; resolviendo, J = 2A / a = 2(12) / 3 =8, J=8 vértices cóncavo intermedio; Sustituyendo J = 8, m = 4, n = 3, en el primer miembro del bispar poliédrico J (2a, b), =8 (2(3), 3) = 8(6, 3), Sustituyendo T = 6, m =4, n =3, en el segundo miembro del bispar poliédrico T(m, n) = 6(4, 3). Concluimos que todas estas características indican que el poliedro es el hexaedro estrellado Davinciano, cuyo bispar es: 8(6, 3) + 6(4, 3). File:Hexaedro_Estrellado_Davinciano.jpg https://www.geogebra.org/classic/dhTK6Afh

6) Siendo m = 5, n = 3, a = 3. b = 3, aplicando fórmulas y resolviendo: A =2mn / 2m=2mn+2n – mn = 2 (5) (3) / 2 (5) + 2 (3) -5 (3) = 30/1 = 30 entonces A=30 aristas intermedias. Resolviendo: E =2A, E=2(30)=60, E=60 aristas exteriores; solucionando : F = E, E=60 por ley transitiva de la igualdad F=60 caras exteriores; trabajando: T = E / m = 60 / 5 = 12, T = 12 vértices exteriores; resolviendo vértices cóncavo intermedios: J = 2A / a = 2 (30) / 3 = 20, J=20; Sustituyendo J = 20, a = 3. b = 3, en el primer miembro del bispar poliédrico, J = 2A / a, =20 (2(3), 3) = 20(6, 3), Sustituyendo T = 12, m=5, n=3, en el segundo miembro del bispar poliédrico T (m, n) = 12(5, 3). Concluimos que todas estas características indican que el poliedro es el dodecaedro estrellado Davinciano, cuyo bispar poliédrico es: 20(6, 3) + 12(5, 3) https://commons.wikimedia.org/wiki/File:La_Segunda_Estelaci%C3%B3n_del_Dodecaedro.jpg 7) Siendo m = 6, n = 3, a = 3. b = 3, aplicando fórmulas y resolviendo la ecuación para determinar la cantidad de aristas intermedias: A =2mn / 2m=2mn+2n – mn = 2 (6) (3) / 2 (6) + 2 (3) -6 (3) = 36/0 = indefinido. entonces A = indefinido, no satisface la ecuación. Hemos concluido la segunda etapa de la demostración siendo m ≥ 3. Conclusión. También hemos demostrado que el conjunto W está formado por un conjunto de cinco bispares poliédricos que representan los únicos cinco poliedros regulares cóncavos estrellados, W = {Dodecaedro estrellado Davinciano 20 (6, 3) + 12 (5, 3), Hexaedro estrellado Davinciano 8 (6, 3) + 6 (4, 3) , Tetraedro Estrellado Davinciano 4 (6, 3) + 4 (3, 3), Estrella Octángula De Kepler 6 (8, 3) + 8 (3, 3), Icosaedro Estrellado Davinciano 12 (10, 3) + 20 (3, 3).} Concluyo afirmando que en la humanidad no ha habido, ni habrán otros poliedros regulares cóncavos estrellados que no sean estos cinco poliedros los cuales forman el conjunto W.