File:Ordering affine projective.svg

Deutsch: Auf einer affinen Geraden g ist eine Hilbertsche Zwischenbeziehung definierbar, wenn der Koordinatenbereich sich anordnen lässt. Jede Afiinität, die die (ungeordnete) Paarmenge {H_1, H_2} auf sich selbst abbildet, bildet auch die "Strecke" g_1 (=Menge der Zwischenpunkte von {H_1, H_2}) auf sich selbst ab. Dagegen können die "Halbgeraden" g_2, g_3 auch vertauscht werden. - Auf einer projektiven Geraden ist die Situation anders. Hier ist die Gerade unten im Bild als "affines" Geradenbüschel der Geraden durch M (+Fernpunkt) dargestellt, wobei jede Gerade durch einen Punkt auf dem Kreis repräsentiert wird. Der affine Kreis h wird durch zwei Punkte H_1, H_2 in ZWEI Kreisbögen h_1, h_2 aufgeteilt. Affinitäten der Ebene, die {H_1, H_2} auf sich abbilden, bilden auch die zwei Bögen je auf sich ab, es sei denn, H_1, H_2 liegen auf dem gleichen Durchmesser, dann können h_1 und h_2 auch vertauscht werden. Dagegen existieren immer Projektivitäten, die die projektive Geradenmenge {MH_1, MH_2} auf sich abbilden, aber die Büschelgeraden durch M und einen Punkt von h_1 mit den Büschelgeraden durch M und einen Punkt von h_2 vertauschen. Projektiv gibt es keinen Unterschied zwischen "innen" und "außen".