File:Bulletin de l'Acadmie impriale des sciences de St.-Ptersbourg (20244344109).jpg

Title: Propriétés générales des polyèdres qui, sous une étendue superficielle donnée, renferment le plus grand volume, p. 258-269
Author: L. Lindelöf
Year: 1870 ("lu le 3 juin 1869")
Journal title: Bulletin de l'Académie impériale des sciences de Saint-Pétersbourg, t. 14
Publisher: Académie impériale des sciences de Saint-Pétersbourg
View Book Page: Book Viewer on archive.org (p. 265)

Subjects: Science; Science -- Soviet Union
Contributing Library: New York Botanical Garden, LuEsther T. Mertz Library
Digitizing Sponsor: The LuEsther T Mertz Library, the New York Botanical Garden

About This Book: Catalog Entry
View All Images: All Images From Book
Identifier: bulletindelacadm14impe (find matches)
Text Appearing Before Image:
265 des Sciences de Saint-Pétersbourg:. 266 Soit V le nombre total des variations que l'on rencontre en faisant le tour de toutes les faces du polyèdre après avoir donné un signe arbitraire à cha- cune des arêtes qui n'en portent aucun. On devra, évidemment, obtenir le même nombre en comptant les variations autour des angles solides. Or, chaque angle solide ne peut présenter, sur les trois arêtes qui y aboutissent, que deux variations tout au plus. On aura donc à la fois v > < 2s, c'est-à-dire v > 4/3k / 8 et v < 4/3k, ce qui implique une contradiction évidente. Donc il est impossible que toutes les faces contiennent des arêtes pour lesquelles la quantité 1/ro - 1/R soit différente de zéro.
Voyons maintenant, si cette quantité peut se réduire à zéro le long du contour de certaines faces sans être nulle pour toutes les arêtes du polyèdre.
Text Appearing After Image:
Soit A = abcd une des faces dont il s'agit, et dont les arêtes ne portent aucun signe, et B = abefg une face adjacente. Imaginons qu'on supprime l'arête ab, commune à ces faces, et qu'on redresse les lignes brisées dag et cbe en leur substituant les nouvelles arêtes rectilignes dg et ce, auxquelles on donnera les signes des arêtes supprimées ag et be. Par là les deux faces A et B se réuniront en un seul polygone gauche cefgd, dont le contour présentera exactement le même nombre de variations de signes que ceux des deux faces A et B ensemble. Quant aux autres faces adjacentes C et D, chacune d'elles offrira autant de variations après qu'avant cette transformation, en sorte que le nombre total des variations n'aura subi aucun changement. En continuant ce procédé, on fera disparaître une à une toutes les faces dont les arêtes ne portent aucun signe, jusqu'à ce qu'on ait transformé la figure primitive en un réseau polyédrique dans lequel chaque polygone latéral présente au moins quatre variations de signe. Or, chaque fois qu'on supprimera ainsi une face, on fera disparaître en même temps deux sommets et trois arêtes, d'où il résulte qu'en désignant par k', f', s' les nombres respectifs des arêtes, des faces et des sommets de la figure transformée, on aura
f - f' = (k - k') / 3 = (s - s') / 2.

De là , à l'aide des formules (8) on déduit facilement [formule].
Ainsi, les mêmes relations qui avaient lieu entre les nombres des arêtes, des sommets et des faces du polyèdre primitif, subsistent encore dans la figure transformée. D'ailleurs chaque sommet de celle-ci est aussi formé par trois arêtes. Donc cette figure rentre complètement dans l'hypothèse déjà examiné [sic, féminin].
Il résulte de cette discussion que pour un polyèdre maximum dont tous les sommets sont simples, la différence 1/ro - 1/R est constamment nulle, ce qui veut dire que le polyèdre est circonscrit à une sphêre de rayon R.
7.
Cas où il existe des sommets multiples. - Lorsqu'un polyèdre a des sommets multiples, on peut le considérer comme cas limite d'un autre polèdre à faces variables, et dont tous les sommets sont simples. Soit S un sommet du degré n de multiplicité ou formé par n -+- 2 plans. Si l'on fait mouvoir un de ces plans A parallèlement à lui-même vers l'intérieur du polyèdre, le sommet S se partagera évidemment en n sommets simples, et en même temps le polyèdre acquerra n - 1 arêtes nouvelles, qui entreront toutes dans le périmètre de la face A. Si le plan A se mouvait vers l'extérieur, il n'en résulterait qu'un sommet nouveau et une arête nouvelle, qui serait alors commune aux deux faces adjacentes à A. Le sommet S resterait à sa place, mais son degré de multiplicité serait diminué d'une unité. En général, il est toujours permis de regarder un sommet multiple du degré n comme la réunion de n sommets simples confondus par l'évanouissement de n - 1 arêtes qui les avaient séparés. Restituons par la pensée toutes ces arêtes disparues, et nous aurons

Note About Images