File:01 Winkel 16°.svg

Summary[edit]

Description01 Winkel 16°.svg	Deutsch: Konstruktion cos(16°), durch Halbierung, Addition bzw. Subtraktion von Winkeln erhält man damit Winkel mit ganzen Zahlen, wie z. B.: 1°, 2°, 4° ... 8° ... 14°... 20° ... 40° etc. English: Construction cos(16°), by halving, adding or subtracting angles, you get angles with whole numbers, such as e.g.: 1°, 2°, 4° ... 8° ... 14°... 20° ... 40° etc.
Date	26 February 2022
Source	Own work
Author	Petrus3743
SVG development InfoField	The SVG code is valid.   This trigonometry was created with GeoGebra by Petrus3743.   This SVG trigonometry uses the path text method.

Konstruktion cos(16°) mit Zirkel und Lineal[edit]

1. Es sei ein Kreis um ${\displaystyle M}$ mit beliebigem Radius ${\displaystyle {\overline {AM}}}$.
2. Halbgerade durch ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle M}$ ergibt Schnittpunkt ${\displaystyle B}$.
3. Halbgerade senkrecht zu ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ durch ${\displaystyle M}$ ergibt Schnittpunkte ${\displaystyle C}$ und ${\displaystyle D}$.
4. Strecke ${\displaystyle {\overline {AE}}={\frac {1}{10}}\cdot {\overline {AM}}}$, Kreis um ${\displaystyle M}$ durch ${\displaystyle E}$ ergibt Schnittpunkt ${\displaystyle V}$
5. Strecken ${\displaystyle {\overline {AF}},{\overline {FG}},{\overline {GH}},{\overline {HI}}={\frac {1}{10}}\cdot {\overline {AM}}}$.
6. Strecken ${\displaystyle {\overline {EJ}}={\overline {JA}}={\overline {FL}}}$, Kreis um ${\displaystyle M}$ durch ${\displaystyle J}$ ergibt Schnittpunkt ${\displaystyle K}$.
7. Bestimmen der Funktionspunkte:

Beginn mit Punkt ${\displaystyle N}$, dessen Abstand zu Punkt ${\displaystyle K}$ ist gleich der Strecke ${\displaystyle {\overline {EL}}}$. In der Darstellung beschrieben als ${\displaystyle |KN|={\overline {EL}}}$. Auf diese Art und Weise werden auch die weiteren Funktionspunkte ${\displaystyle O}$ als ${\displaystyle |DO|={\overline {AH}}}$ bis zum letzten ${\displaystyle A_{1}}$ als ${\displaystyle |AA_{1}|={\overline {IJ}}}$ (Reihenfolge siehe Kurzbeschreibung in der Darstellung) festgelegt.

8. Einzeichnen der Kreissekanten:

Es beginnt mit der Sekante ab ${\displaystyle A_{1}}$ durch ${\displaystyle Z}$ bis sie die äußere Kreislinie in ${\displaystyle B_{1}}$ schneidet. Die nächste Sekante läuft ab dem zuletzt erhaltenen Schnittpunkt ${\displaystyle B_{1}}$ durch ${\displaystyle W}$ bis sie wieder die äußere Kreislinie in ${\displaystyle C_{1}}$ schneidet. Auf diese Art und Weise werden auch die Punkte ${\displaystyle D_{1}}$ bis zum letzten Punkt ${\displaystyle K_{1}}$ (Reihenfolge ist anhand des Verlaufs der Sekanten zu entnehmen) bestimmt.

9. Letzte Sekante von ${\displaystyle K_{1}}$ bis ${\displaystyle E}$ schneidet den innersten Kreis in ${\displaystyle L_{1}}$.
10. Das abschließende Lot von ${\displaystyle L_{1}}$ auf ${\displaystyle {\overline {MB}}}$ mit Fußpunkt ${\displaystyle M_{1}}$ liefert die Strecke ${\displaystyle {\overline {MM_{1}}}}$, dessen Länge entspricht nahezu dem Kosinus des Winkels 16°.

Ergebnis[edit]

Bezogen auf den Einheitskreis r = 1 [LE][edit]

• Konstruierter Kosinus des Winkels 16° in GeoGebra (Anzeige max. 15 Nachkommastellen) ${\displaystyle \approx \cos(16^{\circ })=0{,}961261695938319\;}$, letzte Stelle gerundet
• Ermittelter ${\displaystyle \cos(16^{\circ })=0{,}96126169593831886\ldots \;}$
• Der absolute Fehler des konstruierten Kosinus ${\displaystyle \approx \cos(16^{\circ })}$ ist in GeoGebra aufgrund der Anzeigebegrenzung und der Rundung nicht verifizierbar.

Beispiel um den Fehler zu verdeutlichen[edit]

Bei einem Umkreisradius r = 1 Mrd. km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 56 min), wäre der absolute Fehler der Strecke ${\displaystyle {\overline {MM_{1}}}\approx \cos(16^{\circ })}$ < 1 mm.

Construction cos(16°) with compass and ruler[edit]

1. Let there be a circle around ${\displaystyle M}$ with arbitrary radius ${\displaystyle {\overline {AM}}}$.
2. Half-line through ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle M}$ gives intersection ${\displaystyle B}$.
3. Half-line perpendicular to ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ through ${\displaystyle M}$ gives intersection ${\displaystyle C}$ and ${\displaystyle D}$.
4. Line segment ${\displaystyle {\overline {AE}}={\frac {1}{10}}\cdot {\overline {AM}}}$, circle around ${\displaystyle M}$ through ${\displaystyle E}$ gives intersection ${\displaystyle V}$.
5. Line segments ${\displaystyle {\overline {AF}},{\overline {FG}},{\overline {GH}},{\overline {HI}}={\frac {1}{10}}\cdot {\overline {AM}}}$.
6. Line segments ${\displaystyle {\overline {EJ}}={\overline {JA}}={\overline {FL}}}$ , circle around ${\displaystyle M}$ through ${\displaystyle J}$ gives intersection ${\displaystyle K}$.
7. Determine the function points:

Start with point ${\displaystyle N}$, whose distance to point ${\displaystyle K}$ is equal to the line segment ${\displaystyle {\overline {EL}}}$. In the representation described as ${\displaystyle |KN|={\overline {EL}}}$. In this way also the further function points are defined, ${\displaystyle O}$ as ${\displaystyle |DO|={\overline {AH}}}$ up to the last ${\displaystyle A_{1}}$ as ${\displaystyle |AA_{1}|={\overline {IJ}}}$ (order see short description in the representation).

8. Drawing the circle secants:

It starts with the secant from ${\displaystyle A_{1}}$ through ${\displaystyle Z}$ until it intersects the outer circle line in ${\displaystyle B_{1}}$. The next secant runs from the last obtained intersection point ${\displaystyle B_{1}}$ through ${\displaystyle W}$ until it again intersects the outer circle line in ${\displaystyle C_{1}}$. In this way, the points ${\displaystyle D_{1}}$ up to the last point ${\displaystyle K_{1}}$ (order can be taken from the course of the secants) are also determined.

9. Last secant from ${\displaystyle K_{1}}$ to ${\displaystyle E}$ intersects the innermost circle in ${\displaystyle L_{1}}$.
10. The final perpendicular from ${\displaystyle L_{1}}$ to ${\displaystyle {\overline {MB}}}$ with base point ${\displaystyle M_{1}}$ gives the line segment ${\displaystyle {\overline {MM_{1}}}}$, its length is nearly equal to the cosine of the angle 16°.

Result[edit]

Relative to unit circle r = 1 [unit of length][edit]

• Constructed cosine of angle 16° in GeoGebra (display max 15 decimal places) ${\displaystyle \approx \cos(16^{\circ })=0.961261695938319\;}$ , last digit rounded.
• Calculated ${\displaystyle \cos(16^{\circ })=0.96126169593831886\ldots \;}$.
• The absolute error of the constructed cosine ${\displaystyle \approx \cos(16^{\circ })}$ is not verifiable in GeoGebra due to display limitations and rounding.

Example to illustrate the error[edit]

For a radius of circumcircle r = 1 billion km (the light would need about 56 min for this distance), the absolute error of the line segment ${\displaystyle {\overline {MM_{1}}}\approx \cos(16^{\circ })}$ would be < 1 mm.

Licensing[edit]

I, the copyright holder of this work, hereby publish it under the following license:

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