File:01 Quadratur des Kreises E-10.svg

Summary[edit]

Description01 Quadratur des Kreises E-10.svg	Deutsch: Quadratur des Kreises English: Squaring the circle
Date	27 July 2022
Source	Own work
Author	Petrus3743
SVG development InfoField	The SVG code is valid.   This trigonometry was created with GeoGebra by Petrus3743.   This SVG trigonometry uses the path text method.

Näherungskonstruktion[edit]

Vorgehensweise[edit]

1. Kreis um Mittelpunkt ${\displaystyle O}$ mit beliebigem Radius ${\displaystyle {\overline {OA}}=r}$, Durchmesser ${\displaystyle {\overline {AB}}}$
2. Senkrechte ${\displaystyle {\overline {CD}}}$ zu ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ durch ${\displaystyle O}$ mit kurzer Verlängerung ab ${\displaystyle D}$
3. Quadrat ${\displaystyle EFGH}$ umschließt Kreis
4. Kreisbogen um ${\displaystyle A}$ mit Radius ${\displaystyle {\overline {AH}}}$ ergibt Schnittpunkt ${\displaystyle I}$, Kreisbogen um ${\displaystyle E}$ mit Radius ${\displaystyle {\overline {AE}}}$ ergibt Schnittpunkt ${\displaystyle J}$
5. Kante des Lineals an die Punkte ${\displaystyle I}$ und ${\displaystyle J}$ legen, kurze Linie ab ${\displaystyle I}$, Punkt ${\displaystyle K}$ markieren, Linie ab ${\displaystyle J}$ bis Strecke ${\displaystyle {\overline {ED}}}$ ergibt Schnittpunkt ${\displaystyle L}$
6. Punkt ${\displaystyle M}$ aus ${\displaystyle {\overline {CM}}={\overline {MG}}}$, Linie von ${\displaystyle K}$ bis ${\displaystyle M}$ ergibt Schnittpunkt ${\displaystyle N}$
7. Punkt ${\displaystyle P}$ aus Abstand ${\displaystyle |KP|={\overline {AK}}={\overline {KO}}}$, Verbindungslinie von ${\displaystyle P}$ nach ${\displaystyle H}$
8. Punkt ${\displaystyle Q}$ aus Strecke ${\displaystyle {\overline {OQ}}=0{,}05\;r={\tfrac {1}{20}}{\overline {OB}}}$
9. Parallele zu ${\displaystyle {\overline {CD}}}$ durch ${\displaystyle Q}$, Parallele zu ${\displaystyle {\overline {OB}}}$ ab ${\displaystyle N}$ ergibt Schnittpunkt ${\displaystyle R}$
10. Strecke ${\displaystyle {\overline {DU}}}$ gleich ${\displaystyle {\frac {1}{4}}\;{\overline {JL}}}$, Linie ab ${\displaystyle L}$ bis Parallele zu ${\displaystyle {\overline {CD}}}$ ergibt Schnittpunkt ${\displaystyle T}$
11. Verbindungslinie von ${\displaystyle E}$ nach ${\displaystyle G}$ ergibt Schnittpunkt ${\displaystyle V}$, Verbindungslinie von ${\displaystyle T}$ nach ${\displaystyle K}$ ergibt Schnittpunkt ${\displaystyle W}$
12. Punkt ${\displaystyle Z}$ aus ${\displaystyle {\overline {PZ}}={\overline {KW}}}$, Punkt ${\displaystyle A_{1}}$ aus ${\displaystyle {\overline {HA_{1}}}={\overline {HZ}}}$
13. Kante des Lineals an die Punkte ${\displaystyle A_{1}}$ und ${\displaystyle V}$ legen, Linie ab ${\displaystyle V}$ bis Strecke ${\displaystyle {\overline {GB}}}$ ergibt Schnittpunkt ${\displaystyle B_{1}}$
14. Punkt ${\displaystyle C_{1}}$ aus ${\displaystyle {\overline {GC_{1}}}={\overline {GB_{1}}}}$
15. Kante des Lineals an die Punkte ${\displaystyle C_{1}}$ und ${\displaystyle E}$ legen, Linie ab Schnittpunkt ${\displaystyle D_{1}}$ bis ${\displaystyle E}$
16. Punkt ${\displaystyle E_{1}}$ aus ${\displaystyle {\overline {HE_{1}}}={\overline {ED_{1}}}}$
17. Kante des Lineals an die Punkte ${\displaystyle E_{1}}$ und ${\displaystyle F}$ legen, Linie ab Schnittpunkt ${\displaystyle F_{1}}$ bis ${\displaystyle F}$
18. Kreisbogen um ${\displaystyle B}$ mit Radius ${\displaystyle {\overline {BF}}}$, Kreisbogen um ${\displaystyle F}$ mit Radius ${\displaystyle {\overline {FF_{1}}}}$ ergibt Schnittpunkt ${\displaystyle G_{1}}$
19. Halbgerade ab ${\displaystyle G_{1}}$ durch ${\displaystyle R}$ ergibt Schnittpunkt ${\displaystyle H_{1}}$ auf ${\displaystyle {\overline {KM}}}$
20. Nicht eingezeichnete Mittelsenkrechte der Punkte ${\displaystyle I}$ und ${\displaystyle H_{1}}$ ergibt Schnittpunkt ${\displaystyle A'}$ auf ${\displaystyle {\overline {AO}}}$
21. Abschließende Verbindungslinie von ${\displaystyle A'}$ bis ${\displaystyle H_{1}}$

• Die Strecke ${\displaystyle {\overline {A'H_{1}}}}$ ist nahezu gleich der halben Seitenlänge ${\displaystyle r\cdot {\frac {1}{2}}\;\pi }$ des gesuchten Quadrates.

Fehler[edit]

Bei einem Kreis mit Radius r = 1 [LE]:

• In GeoGebra konstruierte Seite des Quadrates ${\displaystyle {\overline {A'H_{1}}}=a=1,772453851004637}$ [LE]
• Soll-Seite des Quadrates ${\displaystyle a_{s}={\sqrt {\pi }}\cdot 1=1{,}772453850905516\ldots }$ [LE]
• Absoluter Fehler ${\displaystyle F=a-a_{s}=0{,}000000000099121...=9{,}9121\ldots }$ E-11 [LE]
• Fläche des konstruierten Quadrates ${\displaystyle A_{k}=a^{2}=3{,}14159265394117\ldots }$ [FE]
• Soll-Fläche des Quadrates ${\displaystyle A_{s}={\pi }\cdot 1=3{,}141592653589793\ldots }$ [FE]
• Absoluter Fehler ${\displaystyle A_{k}-A_{s}=0,000000000351377\ldots =3{,}51377\ldots }$ E-10 [FE]
• Fazit:
  • 8 Nachkommastellen sind gleich denen von ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ bzw. 9 Nachkommastellen sind gleich denen von ${\displaystyle \pi }$.
  • Bei einem Kreis mit dem Radius r = 10.000 km wäre der Fehler der Seite a ≈ 1 mm
  • Bei einem Kreis mit dem Radius r = 100 m wäre der absolute Fehler der Fläche A_k ≈ 3,5 mm²

Licensing[edit]

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