File:01 Pi experimentell.png

Man füllt einen Zylinder mit einem Radius von einer Längeneinheit [LE] so mit Wasser, dass die Höhe des Wasserstandes ebenfalls eine Längeneinheit beträgt. Dann füllt man die so erhaltene Wassermenge von dem Zylinder in einen Trog. Dieser Trog hat eine Vertiefung, die einem Prisma gleicht, dessen Grundfläche ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck ist und dessen Höhe vier Längeneinheiten beträgt (siehe Skizze). Die Wasseroberfläche bildet dann ein Rechteck mit den Seitenlängen ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}\;}$[LE] und ${\displaystyle 4h\;}$[LE].

Mathematischer Hintergrund

In einem gleichschenkligen sowie rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$, ist die Kathete ${\displaystyle x}$ nach dem Satz des Pythagoras

${\displaystyle x^{2}+x^{2}=\pi }$, daraus ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}={\frac {\sqrt {\pi }}{\sqrt {2}}}\;}$[LE]

Flächeninhalt des Dreiecks in Flächeneinheiten [FE]:

${\displaystyle A_{\triangle }={\frac {1}{2}}\cdot x\cdot x={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {\pi }}{\sqrt {2}}}\cdot {\frac {\sqrt {\pi }}{\sqrt {2}}}={\frac {\pi }{4}}\;}$[FE]

Wassermenge im Zylinder ${\displaystyle V_{Z}}$ in Volumeneinheiten [VE]:

${\displaystyle V_{Z}=r^{2}\cdot \pi \cdot h=1^{3}\cdot \pi \;{\widehat {=}}\;3{,}14159...\;}$[VE]

Wassermenge in der prismaförmigen Vertiefung ${\displaystyle V_{P}}$ in Volumeneinheiten [VE]:

${\displaystyle V_{P}=A_{\triangle }\cdot 4h={\frac {\pi }{4}}\cdot 4\cdot 1=\pi \;{\widehat {=}}\;3{,}14159...\;}$[VE]

Das Ergebnis zeigt: Die vom Zylinder umgefüllte Wassermenge liefert in der prismaförmigen Vertiefung eine rechteckige Wasseroberfläche mit den Seitenlängen ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}\;}$[LE] und ${\displaystyle 4h\;}$[LE]

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