File:01 Die grasende Ziege-3.svg

Summary[edit]

Description01 Die grasende Ziege-3.svg	Deutsch: Die grasende Ziege (Das Ziegenproblem) English: The grazing goat (The goat problem)
Date	5 April 2022
Source	Own work
Author	Petrus3743
SVG development InfoField	The SVG code is valid.   This trigonometry was created with GeoGebra by Petrus3743.   This SVG trigonometry uses the path text method.

Siehe auch[edit]

• Ziegenproblem (Geometrie)

Konstruktion[edit]

1. Einheitskreis (grün) um ${\displaystyle M}$ mit Radius ${\displaystyle {\overline {AM}}=1}$.
2. Gerade durch ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle M}$ ergibt Schnittpunkt ${\displaystyle B}$.
3. Gerade senkrecht zu ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ durch ${\displaystyle M}$ ergibt Schnittpunkte ${\displaystyle C}$ und ${\displaystyle P}$.
4. Strecken ${\displaystyle {\overline {AE}}={\frac {1}{10}}\cdot {\overline {AM}}={\overline {AF}}={\overline {FG}}={\overline {GH}}={\overline {HI}}}$.
5. Strecken ${\displaystyle {\overline {EJ}}={\overline {AJ}}={\overline {FN}}}$, Kreis um ${\displaystyle M}$ durch ${\displaystyle E}$ ergibt Schnittpunkt ${\displaystyle K}$ und Kreis um ${\displaystyle M}$ durch ${\displaystyle J}$ ergibt Schnittpunkt ${\displaystyle L}$.
6. Bestimmen der Funktionspunkte:

Es beginnt mit Punkt ${\displaystyle O}$, dessen Abstand zu Punkt ${\displaystyle B}$ ist gleich der Strecke ${\displaystyle {\overline {AI}}}$. In der Darstellung beschrieben als ${\displaystyle |BO|={\overline {AI}}}$. Auf diese Art und Weise werden auch die weiteren Funktionspunkte von ${\displaystyle D}$ als ${\displaystyle |HD|={\overline {MF}}}$ bis ${\displaystyle Z}$ als ${\displaystyle |PZ|={\overline {PH}}}$ (Reihenfolge siehe Kurzbeschreibung in der Darstellung) festgelegt.

7. Einzeichnen der Kreissekanten:

Es beginnt mit der Sekante ab ${\displaystyle Z}$ durch ${\displaystyle Y}$ bis sie die äußere Kreislinie in ${\displaystyle A_{1}}$ schneidet. Die nächste Sekante läuft ab dem zuletzt erhaltenen Schnittpunkt ${\displaystyle A_{1}}$ durch ${\displaystyle X}$ bis sie ebenfalls die äußere Kreislinie in ${\displaystyle B_{1}}$ schneidet. Auf diese Art und Weise werden auch die Punkte von ${\displaystyle C_{1}}$ bis ${\displaystyle J_{1}}$ (Reihenfolge ist anhand des Verlaufs der Sekanten zu entnehmen) bestimmt.

8. Letzte Sekante von ${\displaystyle J_{1}}$ durch ${\displaystyle O}$ schneidet die äußere Kreislinie in ${\displaystyle K_{1}}$.
9. Der abschließende Kreisbogen um ${\displaystyle P}$ mit Radius ${\displaystyle r=|PK_{1}|}$ schneidet den Einheitskreis (grün) in ${\displaystyle L_{1}}$ und ${\displaystyle L_{2}}$. Somit ist die kreisförmige Wiesenfläche nahezu halbiert.

Ergebnis[edit]

• Der in GeoGebra konstruierter Radius ${\displaystyle r=|PL_{1}|=1{,}158728473018121}$ (Anzeige max. 15 Nachkommastellen).
• Die Berechnung ergibt ${\displaystyle r=1{,}158728473018121\ldots }$ (Folge A133731 in OEIS).
• Der absolute Fehler des konstruierten Radius ${\displaystyle r}$ ist in GeoGebra aufgrund der Anzeigebegrenzung nicht verifizierbar.

Beispiel um den Fehler zu verdeutlichen[edit]

Bei einem Umkreisradius r = 1 Mrd. km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 55 min), wäre der absolute Fehler des konstruierten Radius ${\displaystyle r}$ < 1 mm.

See also[edit]

• Ziegenproblem (Geometrie)

Construction[edit]

1. Unit circle (green) around ${\displaystyle M}$ with radius ${\displaystyle {\overline {AM}}=1}$.
2. Straight line through ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle M}$ yields intersection ${\displaystyle B}$ .
3. Straight line perpendicular to ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ through ${\displaystyle M}$ yields intersections ${\displaystyle C}$ and ${\displaystyle P}$.
4. Line segments ${\displaystyle {\overline {AE}}={\frac {1}{10}}\cdot {\overline {AM}}={\overline {AF}}={\overline {FG}}={\overline {GH}}={\overline {HI}}}$.
5. Line segments ${\displaystyle {\overline {EJ}}={\overline {AJ}}={\overline {FN}}}$, circle around ${\displaystyle M}$ through ${\displaystyle E}$ yields intersection ${\displaystyle K}$ and circle around ${\displaystyle M}$ through ${\displaystyle J}$ gives intersection ${\displaystyle L}$.
6. Determining the function points:

It starts with point ${\displaystyle O}$, whose distance to point ${\displaystyle B}$ is equal to the segment ${\displaystyle {\overline {AI}}}$. Described in the representation as ${\displaystyle |BO|={\overline {AI}}}$. In this way, the other function points from ${\displaystyle D}$ as ${\displaystyle |HD|={\overline {MF}}}$ to ${\displaystyle Z}$ as ${\displaystyle |PZ|={\overline {PH}}}$ (sequence see short description in the representation).

7. Drawing in the circle secant:

It starts with the secant from ${\displaystyle Z}$ through ${\displaystyle Y}$ until it intersects the outer circle at ${\displaystyle A_{1}}$. The next secant runs from the last received intersection ${\displaystyle A_{1}}$ through ${\displaystyle X}$ until it also intersects the outer circle line in ${\displaystyle B_{1}}$. In this way, the points from ${\displaystyle C_{1}}$ to ${\displaystyle J_{1}}$ (order can be seen from the progression of the secants) are determined.

8. Last Secant of ${\displaystyle J_{1}}$ through ${\displaystyle O}$ intersects the outer circle in ${\displaystyle K_{1}}$.
9. The final arc around ${\displaystyle P}$ with radius ${\displaystyle r=|PK_{1}|}$ intersects the unit circle (green) in ${\displaystyle L_{1}}$ and ${\displaystyle L_{2}}$. Thus, the circular meadow area is almost halved.

Result[edit]

• The radius constructed in GeoGebra ${\displaystyle r=|PL_{1}|=1.158728473018121}$ (display max. 15 decimal places).
• The calculation results in ${\displaystyle r=1.158728473018121\ldots }$ (sequence A133731 in OEIS).
• The absolute error of the constructed radius ${\displaystyle r}$ is not verifiable in GeoGebra due to the display limitation.

Example to clarify the error[edit]

With a radius of r = 1 billion km (the light would need about 55 min for this distance), the absolute error of the constructed radius ${\displaystyle r}$ would be < 1 mm.

Licensing[edit]

I, the copyright holder of this work, hereby publish it under the following license:

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