File:01-Quadratur des Kreises E-15.svg

Summary[edit]

Description01-Quadratur des Kreises E-15.svg	Deutsch: Quadratur des Kreises, Näherungskonstruktion English: Squaring the circle, approximate construction
Date	12 April 2016
Source	Own work
Author	Petrus3743
SVG development InfoField	The SVG code is valid.   This trigonometry was created with GeoGebra by Petrus3743.   This SVG trigonometry uses the path text method.

Näherungskonstruktion[edit]

1. Kreis um ${\displaystyle M}$ mit beliebigem Radius ${\displaystyle {\overline {AM}}}$.
2. Gerade durch ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle M}$ ergibt Schnittpunkt ${\displaystyle B}$.
3. Gerade senkrecht zu ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ durch ${\displaystyle M}$ ergibt Schnittpunkte ${\displaystyle C}$ und ${\displaystyle D}$.
4. Strecken ${\displaystyle {\overline {AE}}\ ={\frac {1}{10}}\cdot {\overline {AM}}\ ={\overline {AF}}\ ={\overline {FG}}\ ={\overline {GH}}\ ={\overline {HI}}}$ eintragen.
5. Kreis um ${\displaystyle M}$ durch ${\displaystyle E}$.
6. Strecken ${\displaystyle {\overline {EJ}}={\overline {JA}}\ ={\overline {FL}}}$, Kreis um ${\displaystyle M}$ durch ${\displaystyle J}$ ergibt Schnittpunkt ${\displaystyle K}$.
7. Bestimmen der Funktionspunkte:

Es beginnt mit Punkt ${\displaystyle N}$, dessen Abstand zu Punkt ${\displaystyle C}$ ist gleich der Strecke ${\displaystyle {\overline {GJ}}}$. In der Darstellung beschrieben als ${\displaystyle |CN|\ ={\overline {GJ}}}$. Auf diese Art und Weise werden auch die weiteren Funktionspunkte von ${\displaystyle O}$ als ${\displaystyle |KO|\ ={\overline {ML}}}$ bis ${\displaystyle W}$ als ${\displaystyle |CW|\ ={\overline {BI}}}$ (Reihenfolge siehe Kurzbeschreibung in der Darstellung) festgelegt.

8. Einzeichnen der Kreissekanten:

Es beginnt mit der Sekante ab ${\displaystyle W}$ durch ${\displaystyle V}$ bis sie die äußere Kreislinie in ${\displaystyle Z_{1}}$ schneidet. Die nächste Sekante läuft ab dem zuletzt erhaltenen Schnittpunkt ${\displaystyle Z_{1}}$ durch ${\displaystyle U}$ bis sie wieder die äußere Kreislinie in ${\displaystyle A_{1}}$ schneidet. Auf diese Art und Weise werden auch die Punkte von ${\displaystyle B_{1}}$ bis ${\displaystyle H_{1}}$ (Reihenfolge ist anhand des Verlaufs der Sekanten zu entnehmen) bestimmt.

9. Die letzte Sekante ${\displaystyle {\overline {H_{1}E}}}$ schneidet die Strecke ${\displaystyle {\overline {CM}}}$ in ${\displaystyle I_{1}}$ und liefert somit die Strecke ${\displaystyle {\overline {I_{1}M}}={\frac {1}{2}}\cdot a}$.
10. Konstruiere abschließend mittels der Strecke ${\displaystyle {\overline {I_{1}M}}}$ das Quadrat ${\displaystyle A'B'C'D'}$ mit Seite ${\displaystyle a}$.

• Somit ergibt sich:

Ein Quadrat mit einem nahezu gleichen Flächeninhalt wie der des gegebenen Kreises.

Ergebnis[edit]

Bezogen auf den Einheitskreis r = 1 [LE][edit]

• Konstruierte Seitenlänge des Quadrats in GeoGebra (Anzeige max. 15 Nachkommastellen) ${\displaystyle a=1{,}772453850905516\;[LE]}$. → Die letzte Nachkommastelle kann sich von Konstruktion zu Konstruktion unterscheiden!
• Seitenlänge des Quadrates ${\displaystyle a_{SOLL}={\sqrt {\pi }}=1{,}772453850905516\;027\ldots \;[LE]}$.
• Absoluter Fehler der konstruierten Seitenlänge:

Bis zu den max. angezeigten 15 Nachkommastellen ist der absolute Fehler ${\displaystyle F_{a}=a-a_{SOLL}=0{,}0\;[LE].}$

• Flächenihalt des konstruierten Quadrates ${\displaystyle A=a^{2}=3{,}141592653589793\;141\ldots \;[FE]}$.
• Flächeninhalt des Quadrates ${\displaystyle A_{SOLL}=\pi =3{,}141592653589793\;238\ldots \;[FE]}$
• Absoluter Fehler des Flächeninhalts des Quadrates ${\displaystyle =F_{A}=a^{2}-a_{SOLL}^{2}=-9{,}67\ldots E-17\;[FE]}$.

Beispiele um die Fehler zu verdeutlichen[edit]

• Bei einem Radius r = 1 Mrd. km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 56 min) wäre der Fehler der konstruierte Seite des Quadrats < 1 mm.
• Bei einem Radius r = 1.000 km wäre der Fehler des Flächeninhalts des Quadrats < 1 cm².

Proximity construction[edit]

1. Circle around ${\displaystyle M}$ with any radius ${\displaystyle {\overline {AM}}}$.
2. Straight line through ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle M}$ yields intersection ${\displaystyle B}$ .
3. Straight line perpendicular to ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ through ${\displaystyle M}$ yields intersections ${\displaystyle C}$ and ${\displaystyle D}$.
4. Line segments ${\displaystyle {\overline {AE}}={\frac {1}{10}}\cdot {\overline {AM}}={\overline {AF}}={\overline {FG}}={\overline {GH}}={\overline {HI}}}$.
5. Circle around ${\displaystyle M}$ by ${\displaystyle E}$.
6. Line segments ${\displaystyle {\overline {EJ}}={\overline {JA}}={\overline {FL}}}$, circle around ${\displaystyle M}$ through ${\displaystyle J}$ gives intersection ${\displaystyle K}$.
7. Determining the function points:

It starts with point ${\displaystyle N}$, whose distance to point ${\displaystyle C}$ is equal to the segment ${\displaystyle {\overline {GJ}}}$. Described in the representation as ${\displaystyle |CN|={\overline {GJ}}}$. In this way, the other function points from ${\displaystyle O}$ as ${\displaystyle |KO|={\overline {ML}}}$ to ${\displaystyle W}$ as ${\displaystyle |CW|={\overline {BI}}}$ (sequence see short description in the representation).

8. Drawing in the circle secant:

It starts with the secant from ${\displaystyle W}$ through ${\displaystyle V}$ until it intersects the outer circle at ${\displaystyle Z_{1}}$. The next secant runs from the last received intersection ${\displaystyle Z_{1}}$ through ${\displaystyle U}$ until it also intersects the outer circle line in ${\displaystyle A_{1}}$. In this way, the points from ${\displaystyle B_{1}}$ to ${\displaystyle H_{1}}$ (order can be seen from the progression of the secants) are determined.

9. The last secant ${\displaystyle {\overline {H_{1}E}}}$ intersects the line ${\displaystyle {\overline {CM}}}$ in ${\displaystyle I_{1}}$ and thus yields the line ${\displaystyle {\overline {I_{1}M}}={\frac {1}{2}}\cdot a}$.
10. Finally, construct the square ${\displaystyle A'B'C'D'}$ with side ${\displaystyle a}$ using the line ${\displaystyle {\overline {I_{1}M}}}$.

• Thus, the result is:

A square with an area almost equal to that of the given circle.

Result[edit]

Based on the unit circle r = 1 [unit of length][edit]

• Constructed side length of the square in GeoGebra (display max 15 decimal places) ${\displaystyle a=1.772453850905515\;[unit\;of\;length]}$. → The last decimal place can differ from construction to construction!
• Side lenght of the square ${\displaystyle a_{SHOULD}={\sqrt {\pi }}=1.772453850905516\;027\ldots \;[unit\;of\;length]}$.
• Absolute error of the constructed side lenght ${\displaystyle F_{a}=a-a_{SHOULD}=0.0\;[unit\;of\;length]}$.
• Area of the constructed square ${\displaystyle A=a^{2}=3.141592653589793\;141\ldots \;[unit\;of\;area]}$.
• Area of the square ${\displaystyle A_{SHOULD}=\pi =3.141592653589793\;238\ldots \;[unit\;of\;area]}$.
• Absolute error in the area of the square ${\displaystyle =F_{A}=a^{2}-a_{SHOULD}^{2}=-9{,}67\ldots E-17\;[unit\;of\;area]}$.

Examples to illustrate the errors[edit]

• At a radius r = 1 billion km (the light would need about 56 min for this distance) the absolute error of the constructed side length would be < 1 mm.
• At a radius r = 1,000 km the absolute error of the square would be < 1 cm².

Licensing[edit]

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