File:01-Dreizehneck-Seitenlänge-Quadratrix.svg

Description01-Dreizehneck-Seitenlänge-Quadratrix.svg	Deutsch: Dreizehneck bei gegebener Seitenlänge ${\displaystyle a}$, exakte Konstruktion mithilfe der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel English: Tridecagon at given side length ${\displaystyle a}$, exact construction using the quadratrix according of Hippias as an additional aid
Date	12 December 2017
Source	Own work
Author	Petrus3743
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Die Konstruktion des Dreizehnecks mit vorgegebener Seitenlänge ${\displaystyle a}$ nutzt als Konstruktionselement, wie schon im Dreizehneck mit vorgegebenem Umkreis, die Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel. Im dargestellten Beispiel wird die vorgegebene Seitenlänge ${\displaystyle a}$ als zentrische Streckung der Strecke ${\displaystyle {\overline {CG}}}$ mit sogenanntem positiven Streckungsfaktor in den Umkreis eingearbeitet, denn ausgehend vom Dreieck ${\displaystyle OCG}$ stellt die Strecke ${\displaystyle {\overline {A_{1}A_{2}}}\;(=a)}$ bezogen auf die Strecke ${\displaystyle {\overline {CG}}}$ eine Vergrößerung dar.

Zuerst wird die vorgegebenen Seitenlänge ${\displaystyle a}$ als Verlängerung der Strecke ${\displaystyle {\overline {OA}}}$ bestimmt. Nach dem Einzeichnen des Quadrates ${\displaystyle OCDE}$ über der Strecke ${\displaystyle {\overline {BO}}}$, z. B. mit der Seitenlänge ${\displaystyle 1}$, folgt der Viertelkreis ${\displaystyle OCE}$. Es geht weiter mit der Konstruktion der speziellen Kurve, der Quadratrix des Hippias mit der Parameterdarstellung ${\displaystyle \gamma :(0,{\tfrac {\pi }{2}})\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$:

${\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}}$

mit

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&={\begin{cases}t\cot \left({\frac {\pi t}{2\cdot 1}}\right)\,&,0\leq t\leq 1\end{cases}}\\y(t)&=t.\end{aligned}}}$

Danach wird die Strecke ${\displaystyle {\overline {EO}}}$ in dreizehn gleich lange Abschnitte mithilfe der Streckenteilung geteilt. Aus Gründen der Übersichtlichkeit sind in der Zeichnung nur die relevanten Punkte dargestellt. Da ein Dreizehntel dieser Strecke nur ein Dreizehntel des Winkels ${\displaystyle 90^{\circ }}$ erzielen kann, wird für den Umkreis mit seinen ${\displaystyle 360^{\circ }}$ auch das Vierfache, d. h. der Teilungspunkt ${\displaystyle 4}$ bzw. ${\displaystyle 4'}$ zur Konstruktion des Mittelpunktswinkels ${\displaystyle \mu }$ genutzt. Dieser entsteht nach der Konstruktion einer Parallelen zu ${\displaystyle {\overline {BO}}}$ ab ${\displaystyle 4'}$ bis zur Kurve der Quadratrix, dabei ergibt sich der Punkt ${\displaystyle F}$. Nun zieht man eine Halbgerade ab dem Winkelscheitel ${\displaystyle O}$ durch ${\displaystyle F}$ sowie durch den neuen Punkt ${\displaystyle G}$ des Viertelkreises ${\displaystyle OCE}$. Nach dem Verbinden des Punktes ${\displaystyle C}$ mit ${\displaystyle G}$ ergibt sich die Strecke ${\displaystyle {\overline {CG}}}$ – die übrigens die exakte Seitenlänge des Dreizehnecks mit vorgegebenem Umkreis ist – anschließend wird die Parallele ${\displaystyle {\overline {AH}}}$ zu ${\displaystyle {\overline {CG}}}$ gezogen. Weiter geht es mit dem Übertragen der vorgegebenen Seitenlänge ${\displaystyle a}$ auf die Strecke ${\displaystyle {\overline {AH}}}$, Schnittpunkt ${\displaystyle B'}$ entsteht, und mit dem Zeichnen einer Parallelen zu ${\displaystyle {\overline {BO}}}$ ab ${\displaystyle B'}$. Diese Parallele schneidet ${\displaystyle {\overline {HO}}}$ in ${\displaystyle A_{2}}$. Jetzt kann der Umkreis um seinen Mittelpunkt ${\displaystyle O}$ und durch ${\displaystyle A_{2}}$ gezogen werden, dabei schneidet er die Strecke ${\displaystyle {\overline {BO}}}$ in ${\displaystyle A_{1}}$. Somit ist die vorgegebene Seitenlänge ${\displaystyle a}$, als zentrische Streckung der Strecke ${\displaystyle {\overline {CG}}}$ in den Umkreis des entstehenden Dreizehnecks eingearbeitet.

Nach dem elfmaligen Abtragen der Seitenlänge ${\displaystyle a}$ auf dem Umkreis gegen den Uhrzeigersinn und dem abschließenden Verbinden der entstandenen benachbarten Punkte, ist das Dreizehneck ${\displaystyle A_{1}\ldots A_{13}}$ fertiggestellt.

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