File:Square symmetries.svg

Italiano: Il gruppo di simmetria ${\displaystyle S_{4}}$ con ${\displaystyle 24}$ elementi (cardinalità ${\displaystyle |S_{4}|\,=4!=24}$. Ha 30 sottogruppi di cui 4 sottogruppi sono normali:

• quello banale formato dalla sola identità,
• il gruppo di Klein V, vale a dire le trasposizioni pari ${\displaystyle \{(1)(2)(3)(4),(1\ 2)(3\ 4),(1\ 3)(2\ 4),(1\ 4)(2\ 3)\}}$ con quoziente S₃,
• l'intero gruppo S₄
• A₄ che si identifica con le 4 rotazioni di 90° nel piano e comprende l'identità (gruppo ciclico ${\displaystyle C_{4}}$).

I tipi di cicli in ${\displaystyle S_{4}}$ sono: (1)(2)(3)(4), (a b), (a b c), (a b c d), (a b)(c d). L'azione del gruppo sull'insieme dei vertici X = {1,2,3,4} viene detta simmetria e preserva la seguente struttura geometrica:

Quadrato

Un sottogruppo è costituito dal gruppo diedrale di ordine 8 (${\displaystyle D_{4}\leq S_{4}}$), cioè il gruppo delle rotazioni e delle riflessioni simmetriche di un quadrato, infatti tali simmetrie permutano i 4 vertici del quadrato. (vedi immagine in alto che illustra tali operazioni in dettaglio)

${\displaystyle D_{3}}$	${\displaystyle S_{3}}$	rotazione/riflessione
${\displaystyle {C_{4}}^{4}=id}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&2&3&4\end{pmatrix}}=(1)(2)(3)(4)}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\cdot 4}$ (identità)
${\displaystyle {C_{4}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\end{pmatrix}}=(1\ 2\ 3\ 4)=(2\ 3\ 4\ 1)=...}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\cdot 1}$
${\displaystyle {C_{4}}^{2}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&4&1&2\end{pmatrix}}=(1\ 3)(2\ 4)=(2\ 4)(1\ 3)}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\cdot 2}$
${\displaystyle {C_{4}}^{3}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\4&1&2&3\end{pmatrix}}=(1\ 4\ 3\ 2)=(4\ 3\ 2\ 1)=...}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\cdot 3}$
${\displaystyle {\sigma }^{'}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\end{pmatrix}}=(1\ 2)(3\ 4)=(3\ 4)(1\ 2)}$	asse lato 12,34
${\displaystyle {\sigma }^{''}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\4&3&2&1\end{pmatrix}}=(1\ 4)(2\ 3)=(2\ 3)(1\ 4)}$	asse lato 14,23
${\displaystyle {\sigma }^{'''}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&2&1&4\end{pmatrix}}=(1\ 3)(2)(4)=(3\ 1)(2)(4)}$	diagonale 24
${\displaystyle {\sigma }^{iv}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&4&3&2\end{pmatrix}}=(2\ 4)(1)(3)=(4\ 2)(1)(3)}$	diagonale 13