File:II Teoremaa de Leonaro.jpg

Tesis: El conjunto K = {(6, 3) + (5, 3), (6, 3) + (4, 3), (6, 3) + (3, 3), (8, 3) + (3, 3), (10, 3) + (3, 3)}. 1) Demostrar que el conjunto K está compuesto por los únicos poliedros regulares cóncavos estrellados que existen.

Demostraciones. Como los poliedros regulares convexo son los que generan los poliedros regulares cóncavos, utilizaremos la formula de Euler, despejando el valor de la arista. 1) A = 2mn / 2m + 2n – mn C+V– A = 2 Sustituyendo C y V tenemos: 2A /m + 2A /n – A = 2. Multiplicando por (1/2A) la ecuación, (2A /m + 2A /n – A = 2) = (2A/2Am +2A/2An – A/2A = 2/2A). Reduciendo = 1/m + 1/n – 1/2 = 1/A Resolviendo el primer miembro de la igualdad 2n + 2m – mn /2mn = 1/A Transponiendo A y 2mn A (2n + 2m – mn) = 2mn Despejando A = 2mn / 2n + 2m – mn

2) (n =3). 3) (2m, n) + (m, n). Es designado con el nombre de bispar poliédrico en el cual (2m, n) es el primer miembro del bispar poliédrico y (m, n) es el segundo miembro del bis-par poliédrico. 2m = J, por lo tanto (2m, n) + (m, n) = (J, n) + (m, n).

4) E=2A. se cumple en (2m, n) 5) E=4mn / 2m + 2n – mn. se cumple en (2m, n) 6) P=2E/J. se cumple en (2m, n) 7) F = E se cumple en (2m, n) 8) C= 2 A / n: se cumple en (m, n) 9) V= 2A / m, se cumple en (2m, n) y en (m, n).

a) Símbolos de la variables: A=aristas intermedia, V = Vértices intermedio, C= caras intermedias, E =Aristas exteriores, F = caras exteriores, P = Vértices exteriores, n=numero de aristas del polígono regular, m =numero de caras que son comunes a un vértice poliédrico, s = variable que indica la suma de los ángulos, que poseen los polígonos regulares comunes a un vértice, m ≥ 3, R= representa el grado de regularidad o irregularidad del poliedro seleccionado. Cuando el poliedro es irregular el grado se marca con una I, cuando el poliedro es regular el grado de regularidad no se marca.

En la primera etapa: utilizaremos el par poliédrico  (2m, n) y estableceremos los números que satisfacen la ecuación E = +4mn / 2m + 2n – mn. Teniendo en cuenta que para el par poliédrico cóncavo  (2m, n), 360 ≤ s ≤ 720, que la suma de los ángulos del conjunto de polígono comunes a un vértice es mayor o igual a cuatro ángulos rectos y menor que ocho ángulo recto.   

Segunda etapa: utilizaremos el par poliédrico (m, n) y establecer los números que satisfacen la ecuación A = 2mn / 2m + 2n – mn. Teniendo en cuenta que para el par poliédrico convexo (m, n), 360° ˃ s ≥ 180, que la suma de los ángulos del conjunto de polígono comunes a un vértice es menor que cuatro ángulos recto y mayor o igual que dos ángulos rectos.

Primera Etapa Trabajando Con (2m, n). A) Siendo m = 3, n =3 sustituyendo en E= 4mn / 2m + 2n – mn = 4 (3) (3) / 2 (3) + 2 (3) -3 (3) = 36/3 entonces E= 12 este es el primer par poliédrico cóncavo intermedio: Sustituyendo m = 3, n = 3, en (2m, n) = (2(3), (3)) = (6, 3) satisface la ecuación.

B) Siendo m =4, n =3 sustituyendo en E= 4mn / 2m + 2n – mn = 4 (4) (3) / 2 (4) + 2 (3) -4 (3) = 48/2 entonces E= 24 este es el segundo par poliédrico cóncavo intermedio: Sustituyendo m = 4, n = 3, en (2m, n) = (2(4), (3)) = (8, 3) satisface la ecuación.

C) Siendo m = 5, n =3 sustituyendo en E= 4mn / 2m + 2n – mn = 4 (5) (3) / 2 (5) + 2 (3) -5 (3) = 60/1 entonces E= 60 este es el tercer par poliédrico cóncavo intermedio: Sustituyendo m = 5, n = 3, en (2m, n) = (2(5), (3)) = (10, 3) satisface la ecuación.

D) Siendo m = 6, n =3 sustituyendo en E = 4mn / 2m + 2n – mn = 4 (6) (3) / 2 (6) + 2 (3) -6 (3) = 72 / 0 = ∞ entonces E= ∞ no satisface la ecuación.

Segunda Etapa Trabajando Con (m, n)

E) Siendo m = 3, n =3 sustituyendo en A = 2mn / 2m + 2n – mn = 2(3) (3) / 2 (3) + 2 (3) -3 (3) = 18/3 entonces A = 6. Este es el primer par poliédrico exterior, sustituyendo m = 3, n = 3, en (m, n) = (3, 3) satisface la ecuación.

F) Siendo m = 4, n =3 sustituyendo en A = 2mn / 2m + 2n – mn = 2(4) (3) / 2 (4) + 2 (3) - 4 (3) = 24/2 entonces A = 12. Este es el segundo par poliédrico convexo exterior, sustituyendo m = 4, n = 3, en (m, n) = (4, 3) satisface la ecuación.

G) Siendo m = 5, n =3 sustituyendo en A = 2mn / 2m + 2n – mn = 2(5) (3) / 2 (5) + 2 (3) -5 (3) = 30/3 entonces A = 30 este es el tercer par poliédrico convexo exterior: sustituyendo m = 5, n = 3, en (m, n) = (5, 3) satisface la ecuación.

H) Siendo m = 6, n =3 sustituyendo en A = 2mn / 2m + 2n – mn = 2 (6) (3) / 2 (6) + 2 (3) -6 (3) = 36 / 0 = ∞ entonces A = ∞ no satisface la ecuación. Entonces con (2m, n) tenemos un conjunto de tres pares poliédricos al cual llamaremos conjunto X = {(6, 3), (8, 3), (10, 3)}.

Con  (m, n) tenemos otro conjunto de tres pares poliédricos, al cual llamaremos conjunto Y = {(3,3), (4,3), (5,3)}.
Si combinamos los elementos de ambos conjuntos poliédricos tendremos nueve combinaciones diferentes de pares poliédricos, las cuales formaran el conjunto K.
K = {(6, 3) +  (3, 3),  (6, 3) +  (4, 3),  (6, 3) +  (5, 3),  (8, 3) +  (3, 3),  (8, 3) +  (4, 3),  (8, 3) +  (5, 3),  (10, 3) +  (3, 3),  (10, 3) + V (4, 3),  (10, 3) +  (5, 3)}.