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Español: El icosaedro regular genera interiormente un poliedro semirregular llamado gran dodecaedro, descubierto en 1809 por el eximio matemático francés Louis Poinsot, este poliedro representa una de las estalaciones del icosaedro, que está compuesto por un conjunto de triángulos isósceles. En todas las aristas de este poliedro, comprobamos que “k” sí varía su resultado debido a que existen dos clases de aristas diferentes, por lo tanto, el Gran dodecaedro no es válido como poliedro regular. El bis-par poliédrico que representa el Gran dodecaedro es: – 12 (10, 3s) – 20 (3, 3s).

En todo poliedro perfecto cóncavo hueco la distancia (Dc) que existe desde cualquier vértice intermedio al punto centro de origen debe ser igual o mayor a la medida de una de sus aristas, Dc ≥ A, porque de lo contrario el poliedro no se puede realizar de forma regular en la parte interior del poliedro regular convexo. Si Dc < a, entonces no se pueden formar las caras equiláteras triangulares uniformes del poliedro, simplemente porque no hay espacio suficiente para prolongar las aristas de los triángulos interiores que se forman dentro del poliedro y por lo tanto estas aristas interiores siempre serán menores que las aristas intermedia del poliedro regular perfecto hueco.

Solo en los caso que Dc ≥ a, se pueden formar las caras equiláteras triangulares uniformes del poliedro, porque hay espacio suficientes para prolongar las aristas interiores y que las mismas de sean uniformes y congruentes con las aristas intermedias del poliedro perfecto convexo.

Como todas las aristas de un poliedro regular son uniformes congruentes entre sí. Dc / w =k, esto indica que si medimos la distancia desde un vértice de cualquier poliedro perfecto y la dividimos entre una de cualquieras de sus arista tenemos un número llamado k, el cual es una contante para ese poliedro. Este número se utiliza para determinar la distancia que existe desde un vértice intermedio al punto centro del origen de cualquier poliedro seleccionado que posee esta contante. Dc = w.k, esto indica que la distancia que existe desde un vértice intermedio al punto del central del origen del poliedro es directamente proporcional al producto de la arista por la constante del poliedro seleccionado.

Esta constante sirve para verificar si el poliedro es perfecto, para obtener esta constante podemos dividir a Dc en cada una de todas sus aristas, si el resultado de la contante k varia entonces el poliedro no es regular perfecto. 

Cuando el resultado varía existe una arista que no es congruente. Si el resultado de la constante no varía entonces el poliedro es regular perfecto.

En los cinco poliedros regulares convexos, para poder generar los poliedros perfectos cóncavos huecos es necesario que “Dc” sea mayor o igual que “A” porque de lo contario en el espacio interior del poliedro no se podrán formar los conjuntos de caras equiláteras interiores uniformes congruentes entre sí, cuyas aristas interiores sean iguales a las arista intermedias.

Siendo m = 5, n =3 sustituyendo en el primer miembro del bispar poliédrico- (2m, n) = - (10, 3), aplicando fórmulas y resolviendo la ecuación, Ai = -4mn / 2m + 2n – mn = -4 (5) (3) / 2 (5) + 2 (3) - 5 (3) = -60/1 = -60 entonces Ai = -60, satisface la ecuación. Ci= Ai = -60, Ci = -60, +V = 2 (Ai/2m) = 2 (-60 /10) = 2 (-6) = -12, V = -12. Sustituyendo, m = 3, n =3, en el segundo miembro del bispar poliédrico (m, n) = (3, 3) aplicando fórmulas y resolviendo, AI = Ai/2 = -60 /2 =-30, AI = -30, CI = 2AI / n = 2 (-30) / 3 = -20, C = -20, VI = 2AI / m = 2 (-30) /3 = -60/3, V = -20. Aplicando Dc: Experimentemos con el icosaedro regular (5, 3) Dc ≈ w(0.951), siendo w ˃ 0, w∈R entonces

w = 9Cm entonces Dc= 9Cm(0.951) =8.559 Cm

Dc = 8.559Cm. Como 9 ˃ 8.559, entonces el icosaedro perfecto convexo no genera ningún poliedro hueco perfecto porque Dc < A.