File:Bulletin de l'Acadmie impriale des sciences de St.-Ptersbourg (20244313099).jpg

Title: Bulletin de l'Acadmie impriale des sciences de St.-Ptersbourg
Identifier: bulletindelacadm13impe (find matches)
Year: [1] (s)
Authors: Imperatorskaia Akademiia nauk (Russia)
Subjects: Science; Science -- Soviet Union
Publisher: (St. -Ptersbourg), Acadmie impriale des sciences
Contributing Library: New York Botanical Garden, LuEsther T. Mertz Library
Digitizing Sponsor: The LuEsther T Mertz Library, the New York Botanical Garden

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BULLETIN DE L'ACADÃIIIE LIIPERIILE DES SCMCES DE ST.-PÃTERSBOURG. Note sur l'attraction exercée par une couche matérielle trés-mince sur un point de sa sur- face, par J. Somoff. (Lu le 12 décembre 1SG7.) Soit une couclie matérielle comprise entre deux sur- faces, dont la forme est quelconque, mais qui doivent satisfaire à la condition que l'épaisseur de la couche, c.-à .-d. la portion de la normale comprise entre les deux surfaces, soit très-petite, et que les plans tan- gents des deux surfaces aux extrémités de cette por- tion fassent un angle très-petit. Si les éléments maté- riels de cette couche attirent un point 31 de l'une des surfaces en raison inverse du carré de la distance, et que l'on n'a égard qu'aux éléments, auxquels on peut mener du point Jf des rayons sans rencontrer l'une ou l'autre des surfaces de la couche, la résultante des attractions, dues à ces éléments, sera dirigée suivant la normale au point 31 à la surface, sur laquelle se trouve ce point, et aura pour valeur le produit de la densité de la couche au point 31 par la circonférence d'un cercle dont le rayon est égal à l'épaisseur. Ce théorème, dii à Laplace, est d'une grande importance dans la théorie de l'atti'action. â M. Chasles a déter- miné au moyen de ce théorème l'attraction exercée par une couche homogène, infiniment mince, comprise entre deux ellipsoïdes semblables. M. Résal, en ex- posant dans son Traité élémentaire de Mécanique cé- leste (Paris 1865), la méthode de M. Chasles pour calculer l'attraction des ellipsoïdes, observe (pag. 144) que dans quelques Traités de Mécanique on donne une â démonstration de ce théorème qui paraît très-simple, mais qui est inexacte, car dans cette démonstration on néglige une longueur infiniment petite du même ordre que l'épaisseur de la couche. Il donne ensuite une dé- monstration qui n'est pas sujette à cette objection, mais qui est trop longue. La note que j'ai l'honneur de présenter à l'Académie contient une démonstration plus simple et aussi rigoureuse. Nous supposons en premier lieu, que toutes les sections de la surface qui contient le point M avec , des plans normaux menés par ce point sont des cour- ( Tome XIII. bes convexes à l'extérieur, c.-à .-d. qu'elles ont leurs centres de courbure sur la normale intérieure. Soit E3IF l'une de ces sections, C son centre de courbure; 3IE et 3IF des tangentes à la section cor-
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respondante de la seconde surface; r un rayon mené de 31 à un point quelconque de la couche, o l'angle de ce rayon et de la normale MC, à l'angle que fait le plan de ces deux droites avec un plan fixe mené par 3IC, et p la densité de la couche que l'on peut sup- poser constante. Cela posé, la résultante des attrac- tions exercées par les éléments de la couche sur le point 31 pourra être exprimée par l'intégrale P=ç/s'm(fCos;=o et (^^CMD, enfin par rapport à t)^ entre (jj = 0 et 4" = 2r. Le résultat de la première inté- gration sera P= p/?sin9Coscpf?9rf')> (2) oîi r=^3IA. Après cela il sera plus avantageux de remplacer dans l'intégrale relative à ç cette variable par r. En négligeant les iufinement petits de l'ordre su- périeur à l'épaisseur 3IM':^t, on peut poser CB=C3I etAB = 3I3ï=z; par conséquent, si l'on désigne par

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