File:01 Quadratur des Kreises E-11.svg
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Summary
[edit]Description01 Quadratur des Kreises E-11.svg |
Deutsch: Quadratur des Kreises, relativ einfach aber doch mit guter Genauigkeit
English: Squaring the circle, relatively easy but with good accuracy |
Date | |
Source | Own work |
Author | Petrus3743 |
SVG development InfoField |
Quadratur des Kreises
[edit]Konstruktion
[edit]Sie beruht auf der Näherung
Nach dem Ziehen des Einheitskreises ( [LE]) werden die x-Achse und die y-Achse eingetragen. Es folgen der Kreisbogen und die (nicht eingezeichnete) Mittelsenkrechte zwischen und mit Schnittpunkt . Nun wird das Lot von auf mit Fußpunkt gefällt. Das dadurch erzeugte rechtwinklige Dreieck hat wegen der Hypotenuse und des Winkels die Katheten und . Die Strecke wird in halbiert. Um den oben beschriebenen Ansatz für die Näherung zu erhalten, stellt man sich ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse und der kleinen Kathete vor. Mit dem Satz des Pythagoras gilt für die große Kathete
Die Länge der Kathete ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar (siehe Animation).
Weiter geht es mit dem Einzeichnen des rechtwinkligen Dreiecks anhand der jetzt bekannten Seiten. Hierzu wird zuerst der Punkt mithilfe einer Parallelen zur x-Achse auf die y-Achse projiziert, der Schnittpunkt ist . Der darauf folgende Kreis mit dem Radius schneidet die Parallele in und . Die Halbgerade ab durch den Kreismittelpunkt und die in errichtete Senkrechte schneiden sich in und ergeben damit das Dreieck . Der abschließende Kreis mit Radius ist der Inkreis des gesuchten Quadrates .
Fehler
[edit]Bei einem Kreis mit Radius r = 1 [LE]:
- In GeoGebra konstruierte Seite des Quadrates [LE]
- Soll-Seite des Quadrates [LE]
- Absoluter Fehler E-12 [LE]
- Fläche des konstruierten Quadrates [FE]
- Soll-Fläche des Quadrates [FE]
- Absoluter Fehler E-12 [FE]
Verdeutlichung:
- 11 Nachkommastellen sind gleich denen von bzw. 10 Nachkommastellen sind gleich denen von .
- Bei einem Kreis mit dem Radius r = 1 Mio. km wäre der Fehler der Seite a ≈ 1,3 mm
- Bei einem Kreis mit dem Radius r = 1 km wäre der Fehler der Fläche A ≈ 5 mm2
Squaring the circle
[edit]Construction
[edit]It is based on approximation
After drawing the unit circle ( [LE]), the x-axis becomes and the y-axis registered. This is followed by the arc and the (not shown) perpendicular bisector between and with the intersection . Now the plumb line is dropped from to with nadir . The resulting right-angled triangle has cathetus and because of the hypotenuse and the angle . The line segment is halved in . To get the approximation approach described above, imagine a right triangle with the hypotenuse and the minor cathetus . With the Pythagorean theorem, applies to the major side
The length of the cathetus can be a straightedge and compass construction (see animation).
It continues with the drawing of the right-angled triangle using the now known sides. To do this, the point is first projected onto the y-axis using a parallel to the x-axis , which is the point of intersection . The following circle with radius intersects the parallel in and . The half-line from through the center of the circle and the perpendicular erected in intersect in and result in this triangle . The final circle with radius is the incircle of the searched square .
Error
[edit]In a circle of radius r = 1 [unit length, ul]:
- In GeoGebra constructed side of the square [ul]
- Target side of the square [ul]
- Absolute error E-12 [ul]
- Surface of the constructed square [unit area, ua]
- Target area of the square [ua]
- Absolute error E-12 [ua]
Clarification:
- 11 decimal places are equal to those of respectively equal to those of .
- In a circle of radius r = 1 Mio. km would be the fault of the side a ≈ 1.3 mm
- In the case of a circle with the radius r = 1 km would be the error of the surface A ≈ 5 mm2
Licensing
[edit]- You are free:
- to share – to copy, distribute and transmit the work
- to remix – to adapt the work
- Under the following conditions:
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current | 08:39, 2 July 2023 | 586 × 445 (67 KB) | Petrus3743 (talk | contribs) | Kurzbeschreibung angepasst | |
21:53, 29 March 2023 | 587 × 445 (69 KB) | Petrus3743 (talk | contribs) | kleine Korrektur | ||
21:41, 29 March 2023 | 587 × 445 (69 KB) | Petrus3743 (talk | contribs) | Grafikfehler korrigiert | ||
08:35, 28 March 2023 | 587 × 445 (69 KB) | Petrus3743 (talk | contribs) | Überarbeitung | ||
22:13, 26 March 2023 | 599 × 447 (65 KB) | Petrus3743 (talk | contribs) | Kurzbeschreibung erweitert | ||
13:01, 25 March 2023 | 599 × 447 (64 KB) | Petrus3743 (talk | contribs) | kleinere Dateigröße | ||
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22:41, 24 March 2023 | 851 × 626 (64 KB) | Petrus3743 (talk | contribs) | mit Kurzbeschreibung | ||
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