File:01-65.535-Eck (3 x 5 x 17 x 257).svg

Description01-65.535-Eck (3 x 5 x 17 x 257).svg	Deutsch: 65.535-Eck, Konstruktion der ersten Seitenlänge mit den Polygonen Dreieck, Fünfeck, Siebzehneck und 257-Eck English: 65.535-gon, construction of the first side length with the polygons triangle, pentagon, heptadecagon and 257-gon
Date	25 February 2018
Source	Own work
Author	Petrus3743
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Das regelmäßige 65.535-Eck ist nach Carl Friedrich Gauß und Pierre-Laurent Wantzel ein konstruierbares Polygon, da die Anzahl seiner Seiten das Produkt einer Zweierpotenz mit paarweise voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen ${\displaystyle (65.535=2^{0}\cdot 3\cdot 5\cdot 17\cdot 257)}$ ist. Das dazu benötigte 257-Eck ist zwar als Konstruktion mit Zirkel und Lineal machbar, aber nicht praktikabel. Aus diesem Grund werden in der folgenden Konstruktion für das 257-Eck die Quadratrix des Hippias bzw. für die Bestimmung der ersten Seitenlänge ${\displaystyle a}$ des 65.535-Ecks das Programm für dynamische Geometrie GeoGebra, innerhalb einer starken Vergrößerung des entsprechenden Ausschnitts, als weiteres zusätzliches Hilfsmittel verwendet.

Als Basis für die Konstruktion dienen, zwecks besserer Übersicht, separat und im Einheitskreis (Umkreis mit R = 1) erstellte Skizzen der Polygone Siebzehneck und 257-Eck, aus denen die entsprechenden Seitenlängen mit dem Zirkel abgegriffen werden.

Zuerst wird im Einzelnen die Anzahl der Ecken des 65.535-Ecks ermittelt, nennen wir sie ${\displaystyle E_{A}}$, die in den Zentriwinkeln der vier Polygone ${\displaystyle (p)}$ Platz hat. Die ${\displaystyle E_{A}}$ für ein bestimmtes Polygon ${\displaystyle (p)}$ ergibt sich aus:

${\displaystyle E_{A}={\frac {360^{\circ }\cdot 65.535}{p\cdot 360^{\circ }}}={\frac {65.535}{p}},}$

daraus folgt für das Siebzehneck

(1) ${\displaystyle E_{A}={\frac {65.535}{17}}=3.855,}$

d. h. der Zentriwinkel des 17-Ecks beinhaltet 3.855 Seitenlängen ${\displaystyle a}$ bzw. 3.855 Eckpunkte des 65.535-Ecks, dabei wird der erste Eckpunkt (ist zugleich letzter Eckpunkt) nicht mitgezählt.

Die Bezeichnungen der Eckpunkte des Siebzehnecks gegen den Uhrzeigersinn entsprechen deshalb jeweils der bis dahin erreichten Anzahl der Eckpunkte des 65.535-Ecks, z. B. ${\displaystyle 2\cdot 3.855=E_{7.710}}$ oder ${\displaystyle 3\cdot 3.855=E_{11.565}.}$

Für das 257-Eck

(2) ${\displaystyle E_{A}={\frac {65.535}{257}}=255,}$

für das Fünfeck

(3) ${\displaystyle E_{A}={\frac {65.535}{5}}=13.107}$

und schließlich für das Dreieck

(4) ${\displaystyle E_{A}={\frac {65.535}{3}}=21.845}$.

Addiert man nun geometrisch und gegen den Uhrzeigersinn die Zentriwinkel der Polygone 257-Eck, Fünfeck und Dreieck auf dem Umkreis des 65.535-Ecks, ausgehend vom Eckpunkt ${\displaystyle E_{65.535}}$ in der folgenden Art und Weise, ergibt dies den ersten konstruierten Eckpunkt ${\displaystyle E_{K}}$ des 65.535-Ecks:

(5) ${\displaystyle E_{K}=-255+13.107+21.845=34.697.}$

Die Differenz zum nächsten Eckpunkt ${\displaystyle E_{34.695}}$ ${\displaystyle (9\cdot 3.855)}$ des Siebzehnecks beträgt ${\displaystyle 2}$ Eckpunkte. Innerhalb einer starken Vergrößerung dieses Bereiches, erzeugt eine Mittelsenkrechte auf den Abstand ${\displaystyle |E_{34.695}E_{34.697}|}$ eine Winkelhalbierung und somit den Zentriwinkel ${\displaystyle \mu }$ und die erste Seitenlänge ${\displaystyle a}$ des 65.535-Ecks.

Daraus folgt, es genügen jeweils eine eingezeichnete Seitenlänge der drei Polygone Dreieck, Fünfeck und 257-Eck sowie neun eingezeichnete Seitenlängen des Siebzehnecks auf einem gemeinsamen Umkreis. Die konstruktive Vorgehensweise wird im Folgenden beschrieben und dargestellt.

Es beginnt mit der Geraden, dem Festlegen des Mittelpunktes ${\displaystyle M}$ und dem Ziehen des Einheitskreises (Umkreisradius R = 1) um ${\displaystyle M;}$ die Schnittpunkte sind ${\displaystyle A}$ und der letzte Eckpunkt ${\displaystyle E_{65.535}.}$ Nimmt man aus einem im Einheitskreis vorab konstruierten 257-Eck dessen Seitenlänge in den Zirkel und trägt sie ab dem Eckpunkt ${\displaystyle E_{65.535}}$ 1-mal im Uhrzeigersinn auf dem Umkreis ab, ergibt sich der Eckpunkt ${\displaystyle E_{65.280}.}$ Die in den Bildern vollständig eingezeichneten 257 Eckpunkte, sind für die Konstruktion nicht erforderlich, sie dienen lediglich der Veranschaulichung.

Aus dem ebenfalls im Einheitskreis vorab konstruierten Siebzehneck wird dessen Seitenlänge ab ${\displaystyle E_{65.535}}$ 9-mal gegen den Uhrzeigersinn auf dem Umkreis abgetragen. Die Bezeichnung der so entstandenen Eckpunkte beginnt, wegen (1) ${\displaystyle E_{A}=3.855,}$ mit dessen ersten Eckpunkt ${\displaystyle E_{3.855}}$ und wird, wegen (5) ${\displaystyle E_{K}=34.697,}$ fortgesetzt bis zum neunten Eckpunkt ${\displaystyle E_{34.695}.}$ Zur Veranschaulichung (nicht zwingend erforderlich) kann das Siebzehneck fertig eingezeichnet werden.

Es geht weiter mit der Konstruktion des Fünfecks. Der Umkreisradius ${\displaystyle {\overline {AM}}}$ wird in ${\displaystyle D}$ halbiert und der Kreisbogen um ${\displaystyle D}$ ab ${\displaystyle B}$ bis zur Mittelachse ${\displaystyle {\overline {AE_{65.535}}}}$ gezogen; dabei ergibt sich der Schnittpunkt ${\displaystyle F.}$ Den Abstand ${\displaystyle |BF|}$, eine Seite des Fünfecks, ab dem Eckpunkt ${\displaystyle E_{65.280}}$ einmal gegen den Uhrzeigersinn auf den Umkreis abgetragen, ergibt den Schnittpunkt ${\displaystyle G}$. Zur Veranschaulichung (nicht zwingend erforderlich) kann das Fünfeck fertig eingezeichnet werden.

Die Konstruktion des gleichseitigen Dreiecks schließt sich an. Ab dem Punkt ${\displaystyle G}$ den Umkreisradius ${\displaystyle {\overline {AM}}}$ zweimal auf den Umkreis abgetragen ergibt eine Seite des gleichseitigen Dreiecks und den Eckpunkt ${\displaystyle E_{34.697}}$ des 65.535-Ecks, wie oben in (5) bestimmt, der augenscheinlich direkt auf dem Eckpunkt ${\displaystyle E_{34.695}}$ liegt. Zur Veranschaulichung (nicht zwingend erforderlich) kann das gleichseitige Dreieck fertig eingezeichnet werden.

Um die Seitenlänge ${\displaystyle a}$ konstruieren zu können, bedarf es nun einer sehr starken Vergrößerung des Bereiches bezüglich des Eckpunktes ${\displaystyle E_{34.695}}$ mithilfe des zusätzlichen Hilfsmittels GeoGebra. Das Bild 2 zeigt: Im (blauen) Eckpunkt ${\displaystyle E_{34.695}}$ treffen sich die Seitenlängen des Siebzehnecks und im (roten) Eckpunkt ${\displaystyle E_{34.697}}$ die Seitenlängen des gleichseitigen Dreiecks. Im letzten Schritt halbiert eine Mittelsenkrechte den Abstand ${\displaystyle |E_{34.695}E_{34.697}|}$ und erzeugt damit auf dem Umkreis den Eckpunkt ${\displaystyle E_{34.696}}$ sowie den Zentriwinkel ${\displaystyle \mu }$ des 65.535-Ecks.

Somit ist die Strecke ${\displaystyle {\overline {E_{34.695}E_{34.696}}}}$ als erste Seitenlänge ${\displaystyle a}$ des 65.535-Ecks exakt konstruiert.

Bild 3: 65.535-Eck
Vergrößerung der 1. Seite ${\displaystyle a}$ als Animation, am Ende 15 s Pause

Bild 4: 65.535-Eck, Übersichtsbild

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